8. (2024·建邺区期末)如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 2\ cm$，$BC = 3\ cm$.将 $△ ABC$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转后得 $△ DEC$，直线 $DA$，$BE$ 相交于点 $F$.取 $BC$ 的中点 $G$，连接 $GF$，则 $GF$ 长的最大值为
$(1+\frac{\sqrt{13}}{2})$
$cm$.
答案：8.$(1+\frac{\sqrt{13}}{2})$
解析：
证明：
∵△ABC绕点C逆时针旋转得△DEC，
∴CD=CA=2cm，CE=CB=3cm，∠ACD=∠BCE=α（旋转角），
∴△ACD∽△BCE（两边成比例且夹角相等），
∴∠CAD=∠CBE，
设DA与BC交于点O，则∠AOC=∠BOF，
∴∠AFB=∠ACB=90°，即点F在以AB为直径的圆上．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$cm，
AB中点为M，则M为该圆的圆心，半径MA=MB=$\frac{\sqrt{13}}{2}$cm．
∵G为BC中点，BC=3cm，
∴CG=$\frac{3}{2}$cm，
又
∵M为AB中点，
∴MG为△ABC中位线，MG=$\frac{1}{2}$AC=1cm．
在△MGF中，GF≤MG+MF，当且仅当G、M、F共线且F在MG延长线上时取等号，
∴GF的最大值为MG+MF=1+$\frac{\sqrt{13}}{2}$cm．
答案：$1+\frac{\sqrt{13}}{2}$
三、解答题
9. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$E$ 为 $AB$ 的中点，$DE⊥ EC$.
求证：(1)$DE$ 平分 $∠ ADC$；
(2)$AD + BC = DC$.
答案：9.证明:(1)如答图,延长DE交CB的延长线于点F.
∵E为AB的中点,
∴AE=BE;
∵AD//CF,
∴∠A=∠ABF,∠ADE=∠F.
在△AED与△BEF中,$\{\begin{array}{l} ∠ A=∠ EBF,\\ ∠ ADE=∠ F,\\ AE=BE,\end{array} $
∴△AED≌△BEF(AAS),
∴AD=BF,DE=EF.
∵CE⊥DF,DE=EF,
∴CD=CF,
∴∠CDF=∠F;
∵∠ADE=∠F,
∴∠ADE=∠CDF,
∴DE平分∠ADC;
(2)由(1)知AD=BF,CD=CF,
∵CF=BC+BF,
∴AD+BC=DC.
10. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$O$ 是对角线 $AC$，$BD$ 的交点，延长 $CD$ 到点 $F$，使 $DF = DC$，过点 $F$ 作 $EF// AC$，交 $OD$ 的延长线于点 $E$，连接 $OF$，$EC$.
(1)求证：$△ ODC≌△ EDF$；
(2)连接 $AF$，若 $OD = DC$ 且 $∠ BEC = 45^{\circ}$，请判断四边形 $OCEF$ 的形状，并证明你的结论.
答案：10.(1)证明:
∵EF//AC,
∴∠EFC=∠OCF;
在△ODC和△EDF中,$\{\begin{array}{l} ∠ OCD=∠ EFD,\\ DC=DF,\\ ∠ CDO=∠ FDE,\end{array} $
∴△ODC≌△EDF(ASA).
(2)解:四边形OCEF是正方形.证明如下:
由(1)可得,△ODC≌△EDF,
∴OD=DE,OC=EF,又EF//AC,
∴四边形OCEF是平行四边形.
∵OD=DE,OD=DC,且∠BEC=45°,
∴DC=DE,
∴∠DEC=∠DCE=45°,
∴∠CDE=180°−45°−45°=90°,即OE⊥CF,
∴平行四边形OCEF是菱形.
又
∵OD=DC,
∴OE=CF,
∴菱形OCEF是正方形.
