10. 若$a = 3-\sqrt{10}$，则$a^2 - 6a - 9=$
-8
.
答案：10. -8
解析：
解：因为$a = 3 - \sqrt{10}$，所以$a - 3=-\sqrt{10}$，两边平方得$(a - 3)^2=(-\sqrt{10})^2$，即$a^2 - 6a + 9 = 10$，移项可得$a^2 - 6a=1$，则$a^2 - 6a - 9=1 - 9=-8$。
-8
11. 计算：
(1) $(2\sqrt{5}-2\sqrt{3})×(\sqrt{12}+\sqrt{20})$；
(2) $|-\sqrt{2}|+(\sqrt{2}-\frac{1}{2})^2-(\sqrt{2}+\frac{1}{2})^2$；
(3) $(7 + 4\sqrt{3})×(7 - 4\sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1)^2$；
(4) $(3\sqrt{5}+5\sqrt{3})×(-3\sqrt{5}+5\sqrt{3})-(\sqrt{48}+\frac{\sqrt{3}}{4})÷\sqrt{27}$.
答案：11. 解：(1) 原式 $ = (2\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) × (2\sqrt{5} + 2\sqrt{3}) = 20 - 12 = 8 $
(2) 原式 $ = \sqrt{2} + (2 - \sqrt{2} + \frac{1}{4}) - (2 + \sqrt{2} + \frac{1}{4}) = \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} + \frac{1}{4} - 2 - \sqrt{2} - \frac{1}{4} = -\sqrt{2} $
(3) 原式 $ = 49 - 48 - (3 + 1 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3 $
(4) 原式 $ = 75 - 45 - (4\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) ÷ 3\sqrt{3} = 30 - \frac{17}{12} = \frac{343}{12} $
12. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = \sqrt{10}+\sqrt{2}$，$BC = \sqrt{10}-\sqrt{2}$.
求：(1)$Rt△ ABC$的面积；
(2)斜边$AB$的长；
(3)$AB$边上的高.
答案：12. 解：(1) $ Rt △ ABC $ 的面积为 $ \frac{AC · BC}{2} = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2})}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4 $
(2) $ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{10} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{10} - \sqrt{2})^2} = 2\sqrt{6} $
(3) $ AB $ 边上的高是 $ \frac{AC · BC}{AB} = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2})}{2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} $
13. 先阅读材料，再解答问题：
形如$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$的化简，只要找到两个正数$a$，$b$，使$a + b = m$，$ab = n$，即$(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 = m$，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{n}$，那么便有$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}=\sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}(a ＞ b)$.
例如：化简$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$.
解：把$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$化为$\sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$，这里$m = 7$，$n = 12$，由于$4 + 3 = 7$，$4×3 = 12$，
即$(\sqrt{4})^2 + (\sqrt{3})^2 = 7$，$\sqrt{4}×\sqrt{3}=\sqrt{12}$，
$\therefore\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}=\sqrt{7 + 2\sqrt{12}}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$.
(1) 填空：$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}=$
$\sqrt{3} - 1$
，$\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}=$
$\sqrt{5} + 2$
；
(2) 化简：$\sqrt{19 - 4\sqrt{15}}$.
答案：13. (1) $ \sqrt{3} - 1 $ $ \sqrt{5} + 2 $
(2) 解：原式 $ = \sqrt{19 - 2\sqrt{60}} = \sqrt{(\sqrt{15} - 2)^2} = \sqrt{15} - 2 $
