8. 下列二次根式，无论$x$取什么值都有意义的是(
D
)
A.$\sqrt{x}$
B.$\sqrt{x^{2} - 1}$
C.$\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}$
D.$\sqrt{|x| + 1}$
答案：8. D
解析：
要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数。
A. 对于$\sqrt{x}$，被开方数$x$需满足$x≥0$，当$x＜0$时无意义，不符合题意。
B. 对于$\sqrt{x^{2}-1}$，被开方数$x^{2}-1$需满足$x^{2}-1≥0$，即$x≥1$或$x≤-1$，当$-1＜x＜1$时无意义，不符合题意。
C. 对于$\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}$，被开方数$\frac{1}{x^{2}}$需满足$\frac{1}{x^{2}}＞0$，则$x≠0$，当$x=0$时无意义，不符合题意。
D. 对于$\sqrt{|x| + 1}$，因为$|x|≥0$，所以$|x| + 1≥1＞0$，无论$x$取何值，被开方数均为正数，二次根式都有意义，符合题意。
D
9. 已知$0 ＜ x ＜ 1$，那么在$x$，$\frac{1}{x}$，$\sqrt{x}$，$x^{2}$中最大的是(
B
)
A.$x$
B.$\frac{1}{x}$
C.$\sqrt{x}$
D.$x^{2}$
答案：9. B
解析：
设$x = \frac{1}{4}$，则$\frac{1}{x} = 4$，$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$，$x^2 = \frac{1}{16}$。因为$4 ＞ \frac{1}{2} ＞ \frac{1}{4} ＞ \frac{1}{16}$，所以$\frac{1}{x}$最大。
B
10. 已知$m$，$n$是正整数，若$\sqrt{\frac{2}{m}} + \sqrt{\frac{5}{n}}$是整数，则满足条件的有序数对$(m,n)$为(
C
)
A.$(2,5)$
B.$(8,20)$
C.$(2,5)$或$(8,20)$
D.以上都不是
答案：10. C
解析：
设$\sqrt{\frac{2}{m}} + \sqrt{\frac{5}{n}} = k$（$k$为正整数）。
情况一：当$k=2$时，$\sqrt{\frac{2}{m}} = 1$，$\sqrt{\frac{5}{n}} = 1$。
$\sqrt{\frac{2}{m}} = 1$，两边平方得$\frac{2}{m}=1$，解得$m=2$；
$\sqrt{\frac{5}{n}} = 1$，两边平方得$\frac{5}{n}=1$，解得$n=5$，即$(m,n)=(2,5)$。
情况二：当$k=1$时，$\sqrt{\frac{2}{m}} + \sqrt{\frac{5}{n}} = 1$。
设$\sqrt{\frac{2}{m}} = a$，$\sqrt{\frac{5}{n}} = b$（$a,b$为正有理数），则$a + b = 1$，$a^2 = \frac{2}{m}$，$b^2 = \frac{5}{n}$。
令$a = \frac{p}{q}$，$b = \frac{r}{s}$（$p,q,r,s$为正整数且互质），则$\frac{p^2}{q^2} = \frac{2}{m}$，$\frac{r^2}{s^2} = \frac{5}{n}$，可得$m = \frac{2q^2}{p^2}$，$n = \frac{5s^2}{r^2}$。
因$m,n$为正整数，设$p=1$，$q=2$，则$a = \frac{1}{2}$，$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
$a = \frac{1}{2}$，$\frac{2}{m} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，解得$m=8$；
$b = \frac{1}{2}$，$\frac{5}{n} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，解得$n=20$，即$(m,n)=(8,20)$。
综上，满足条件的有序数对$(m,n)$为$(2,5)$或$(8,20)$。
C
11. 若$\sqrt{12a}$是整数，则正整数$a$的最小值是
3
.
答案：11. 3
解析：
$\sqrt{12a} = \sqrt{4 × 3a} = 2\sqrt{3a}$，要使$\sqrt{12a}$是整数，则$\sqrt{3a}$必须是整数，即$3a$是完全平方数。正整数$a$的最小值为$3$，此时$3a = 9$，$\sqrt{9} = 3$，$\sqrt{12a} = 2 × 3 = 6$。
3
12. 若$\sqrt{a - 3} + |2 - a| = a + 2$，则$a$的值为
19
.
答案：12. 19
解析：
由二次根式有意义的条件得$a - 3 ≥ 0$，即$a ≥ 3$。
因为$a ≥ 3$，所以$2 - a ＜ 0$，则$|2 - a| = a - 2$。
原方程可化为$\sqrt{a - 3} + a - 2 = a + 2$，
移项得$\sqrt{a - 3} = a + 2 - a + 2$，
即$\sqrt{a - 3} = 4$，
两边平方得$a - 3 = 16$，
解得$a = 19$。
19
13. 若$m$，$n$满足等式$(\frac{1}{2}m - 2)^{2} + \sqrt{2n + 6} = 0$.
求：(1)$m$，$n$的值；
(2)$4m - 3n$的平方根.
答案：13. 解: (1) 由题意, 得 $\frac{1}{2}m - 2 = 0$, $2n + 6 = 0$,
解得 $m = 4$, $n = -3$.
(2) $\because 4m - 3n = 4 × 4 - 3 × (-3) = 25$,
$\therefore 4m - 3n$ 的平方根为 $\pm 5$.
14. 若$a$，$b$为实数，且$b = \frac{\sqrt{a^{2} - 4} + \sqrt{4 - a^{2}}}{a + 2} + 7$，求$\sqrt{a + b}$的值.
答案：14. 解: 根据题意, 可知 $\begin{cases}a^2 - 4 ≥ 0, \\ 4 - a^2 ≥ 0, \\ a + 2 ≠ 0,\end{cases}$
$\therefore a = 2$, $\therefore b = 7$, $\therefore \sqrt{a + b} = \sqrt{2 + 7} = 3$.
15. 已知$a$，$b$，$c$满足等式$|a - \sqrt{7}| + (c - 4\sqrt{2})^{2} = \sqrt{b - 5} + \sqrt{5 - b}$.
(1)求$a$，$b$，$c$的值；
(2)判断以$a$，$b$，$c$为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？若不能，请说明理由.
答案：15. 解: (1) $\because |a - \sqrt{7}| + (c - 4\sqrt{2})^2 = \sqrt{b - 5} + \sqrt{5 - b}$,
$\therefore b - 5 ≥ 0$, $5 - b ≥ 0$, $\therefore b = 5$,
$\therefore |a - \sqrt{7}| + (c - 4\sqrt{2})^2 = 0$,
$\therefore a - \sqrt{7} = 0$, $c - 4\sqrt{2} = 0$,
$\therefore a = \sqrt{7}$, $c = 4\sqrt{2}$. 故 $a$, $b$, $c$ 的值分别为 $\sqrt{7}$, $5$, $4\sqrt{2}$.
(2) $\because a = \sqrt{7}$, $b = 5$, $c = 4\sqrt{2}$, $a ＜ b ＜ c$,
$\therefore b + a = 5 + \sqrt{7} ＞ 4\sqrt{2}$, $b - a = 5 - \sqrt{7} ＜ 4\sqrt{2}$,
$\therefore$ 以 $a$, $b$, $c$ 为边能构成三角形.
$\because a^2 + b^2 = (\sqrt{7})^2 + 5^2 = 32$, $c^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$,
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$,
$\therefore$ 此三角形是直角三角形.
16. 已知实数$a$满足$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a$，求$a - 2025^{2}$的值.
答案：16. 解: $\because \sqrt{a - 2026}$ 有意义, $\therefore a ≥ 2026$,
$\therefore |2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a - 2025 + \sqrt{a - 2026} = a$,
整理, 得 $\sqrt{a - 2026} = 2025$,
$\therefore a = 2026 + 2025^2$, $\therefore a - 2025^2 = 2026$.
