一、选择题
1. 若$\frac{1}{□}$是分式，则$□$不可以是(
A
)
A.$3π$
B.$x + 1$
C.$c - 3$
D.$2y$
答案：1. A
2. 下列分式运算正确的是(
D
)
A.$(\frac{3x}{2y})^{2}=\frac{3x^{2}}{2y^{2}}$
B.$\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{1 - x}=0$
C.$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{3(x + y)}$
D.$(\frac{x^{2}}{-y})^{3}=-\frac{x^{6}}{y^{3}}$
答案：2. D
解析：
解：A. $(\frac{3x}{2y})^{2}=\frac{9x^{2}}{4y^{2}}$，故A错误；
B. $\frac{1}{x - 1}-\frac{1}{1 - x}=\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{x - 1}=\frac{2}{x - 1}$，故B错误；
C. $\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=\frac{y + x}{3xy}$，故C错误；
D. $(\frac{x^{2}}{-y})^{3}=\frac{(x^{2})^{3}}{(-y)^{3}}=-\frac{x^{6}}{y^{3}}$，故D正确。
答案：D
3. 若$a-\frac{1}{a}=4$，则$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$的值是(
C
)
A.14
B.16
C.18
D.20
答案：3. C
解析：
因为$a - \frac{1}{a} = 4$，两边平方得$(a - \frac{1}{a})^2 = 4^2$，即$a^2 - 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 16$，化简得$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 16$，所以$a^2 + \frac{1}{a^2} = 16 + 2 = 18$。
C
4. 已知一列均不为 1 的数$a_{1},a_{2},a_{3},···,a_{n}$满足如下关系：$a_{2}=\frac{1 + a_{1}}{1 - a_{1}},a_{3}=\frac{1 + a_{2}}{1 - a_{2}},a_{4}=\frac{1 + a_{3}}{1 - a_{3}},···,a_{n + 1}=\frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$，若$a_{1}=2$，则$a_{2025}$的值是(
D
)
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.2
答案：4. D
解析：
$a_{1}=2$
$a_{2}=\frac{1 + a_{1}}{1 - a_{1}}=\frac{1 + 2}{1 - 2}=-3$
$a_{3}=\frac{1 + a_{2}}{1 - a_{2}}=\frac{1 + (-3)}{1 - (-3)}=-\frac{1}{2}$
$a_{4}=\frac{1 + a_{3}}{1 - a_{3}}=\frac{1 + (-\frac{1}{2})}{1 - (-\frac{1}{2})}=\frac{1}{3}$
$a_{5}=\frac{1 + a_{4}}{1 - a_{4}}=\frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}}=2$
周期为4
$2025÷4=506······1$
$a_{2025}=a_{1}=2$
D
二、填空题
5. 若分式$\frac{|
x| -
3}{2x - 6}$的值为零，则$x =$
$-3$
。
答案：5. $-3$
解析：
要使分式$\frac{|x| - 3}{2x - 6}$的值为零，则分子为零且分母不为零。
1. 分子$|x| - 3 = 0$，解得$|x| = 3$，即$x = 3$或$x = -3$。
2. 分母$2x - 6 ≠ 0$，解得$x ≠ 3$。
综上，$x = -3$。
$-3$
6. 甲、乙两船从相距 150 km 的 A，B 两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从 A 地顺流航行 90 km 时与从 B 地逆流航行的乙船相遇。甲、乙两船在静水中的航速均为 30 km/h，则江水的流速为
6
km/h。
答案：6. 6
解析：
解：设江水的流速为$x$km/h。
甲船顺流速度为$(30 + x)$km/h，乙船逆流速度为$(30 - x)$km/h。
相遇时甲船行驶90km，乙船行驶$150 - 90 = 60$km。
相遇时两船行驶时间相等，可得：$\frac{90}{30 + x} = \frac{60}{30 - x}$
交叉相乘得：$90(30 - x) = 60(30 + x)$
$2700 - 90x = 1800 + 60x$
$-90x - 60x = 1800 - 2700$
$-150x = -900$
$x = 6$
经检验，$x = 6$是原方程的解。
6
7. 已知$\frac{3}{m}+\frac{2}{n}=1$，且$m≠ -n$，则$\frac{mn - n}{m + n}$的值是
2
。
答案：7. 2
解析：
由$\frac{3}{m} + \frac{2}{n} = 1$，通分得$\frac{3n + 2m}{mn} = 1$，即$2m + 3n = mn$，移项得$mn - 2m - 3n = 0$，变形为$mn - n = 2m + 2n = 2(m + n)$。因为$m ≠ -n$，所以$m + n ≠ 0$，则$\frac{mn - n}{m + n} = \frac{2(m + n)}{m + n} = 2$。
2
8. 已知关于$x$的分式方程$\frac{x - 2}{x + 2}-\frac{mx}{x^{2} - 4}=1$无解，则$m$的值为
-8,0,-4
。
答案：8. $-8,0,-4$
解析：
解：方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$(x - 2)^2 - mx = (x + 2)(x - 2)$，
展开并化简：$x^2 - 4x + 4 - mx = x^2 - 4$，
移项合并同类项：$(-4 - m)x = -8$，即$(m + 4)x = 8$。
情况1：当$m + 4 = 0$，即$m = -4$时，方程无解。
情况2：当$m + 4 ≠ 0$时，$x = \frac{8}{m + 4}$。
原方程无解，则$x = \frac{8}{m + 4}$是增根，即$x = 2$或$x = -2$。
当$x = 2$时，$\frac{8}{m + 4} = 2$，解得$m = 0$；
当$x = -2$时，$\frac{8}{m + 4} = -2$，解得$m = -8$。
综上，$m$的值为$-8,0,-4$。
三、解答题
9. 解方程：
（1）$\frac{1}{x - 2}+2=\frac{1 - x}{2 - x}$；
（2）$\frac{x + 1}{x - 1}+\frac{4}{1 - x^{2}}=1$。
答案：9. 解：(1) 方程两边同乘$(x - 2)$，得$1 + 2(x - 2) = x - 1$，
解得$x = 2$。
检验：当$x = 2$时，$x - 2 = 0$，
所以$x = 2$是增根，原方程无解。
(2) 方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得$x^{2} + 2x + 1 - 4 = x^{2} - 1$，解得$x = 1$。
检验：当$x = 1$时，$(x + 1)(x - 1) = 0$，所以$x = 1$是增根，
原方程无解。
