糖水实验一：
(1) 现有 $ a $ 克糖水，其中含有 $ b $ 克糖 $ (a ＞ b ＞ 0) $，则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)为 $ \frac{b}{a} $. 加入 $ m $ 克水，则糖水的浓度为
$\frac{b}{a + m}$
.
生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式
$\frac{b}{a} ＞ \frac{b}{a + m}$
，我们趣称为“糖水不等式”.
糖水实验二：
(2) 将“糖水实验一”中的“加入 $ m $ 克水”改为“加入 $ m $ 克糖”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”，并证明此结论.
糖水实验三：
(3) 请设计一个“糖水实验”，说明等比定理“若 $ \frac{
b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = ··· = \frac{b_n}{a_n} $，则 $ \frac{b_1 + b_2 + ··· + b_n}{a_1 + a_2 + ··· + a_n} = \frac{b_1}{a_1} $”成立.
知识迁移：
(4) 设 $ a $，$ b $，$ c $ 为 $ △ ABC $ 三边的长，根据上述糖水实验二的结论，求证：$ \frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} ＜ 2 $.
答案：(1) $\frac{b}{a + m}$ $\frac{b}{a} ＞ \frac{b}{a + m}$
(2) 解: $\frac{b}{a} ＜ \frac{b + m}{a + m}$.
证明: $\frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} = \frac{(b + m)a - b(a + m)}{a(a + m)} = \frac{ab + am - ab - bm}{a(a + m)} = \frac{(a - b)m}{a(a + m)}$,
$\because a ＞ b$, $\therefore a - b ＞ 0$.
又 $\because m ＞ 0$, $a + m ＞ 0$, $a ＞ 0$,
$\therefore \frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} ＞ 0$, 即 $\frac{b + m}{a + m} ＞ \frac{b}{a}$.
(3) 解: 若有 $n$ 杯糖水, 分别是 $a_1$ 克, $a_2$ 克, $a_3$ 克, $···$, $a_n$ 克, 其中每杯中含的糖分别是 $b_1$ 克, $b_2$ 克, $b_3$ 克, $···$, $b_n$ 克, 若这 $n$ 杯糖水的浓度相同, 则 $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = ··· = \frac{b_n}{a_n}$. 将这 $n$ 杯浓度相同的糖水倒在一个容器内, 根据生活经验, 糖水浓度没有变化, 即不变甜也不变淡, 由此可以得到 $\frac{b_1 + b_2 + ··· + b_n}{a_1 + a_2 + ··· + a_n} = \frac{b_1}{a_1}$.
(4) 证明: $\because a$, $b$, $c$ 为 $△ ABC$ 的三边长,
$\therefore a + b ＞ c$, $b + c ＞ a$, $c + a ＞ b$
$\therefore \frac{c}{a + b} ＜ 1$, $\frac{a}{b + c} ＜ 1$, $\frac{b}{a + c} ＜ 1$.
由 (2) 的结论, 可知 $\frac{c}{a + b} ＜ \frac{2c}{a + b + c}$, $\frac{a}{b + c} ＜ \frac{2a}{a + b + c}$, $\frac{b}{c + a} ＜ \frac{2b}{a + b + c}$,
三式相加, 得
$\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} ＜ \frac{2c}{a + b + c} + \frac{2a}{a + b + c} + \frac{2c}{a + b + c} = \frac{2(a + b + c)}{a + b + c} = 2$, $\therefore \frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} ＜ 2$.
