5. 为营造良好的体育运动氛围，某学校用 $ 800 $ 元购买了一批足球，又用 $ 1560 $ 元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的 $ 2 $ 倍，但单价降了 $ 2 $ 元，请问该学校两批共购买了多少个足球？
答案：5. 解: 设第一批足球单价为 $ x $ 元, 则第二批足球的单价为 $ (x - 2) $ 元,
根据题意, 得 $ \frac{800}{x} × 2 = \frac{1560}{x - 2} $, 解得 $ x = 80 $,
经检验, $ x = 80 $ 是所列方程的解, 且符合题意,
则 $ x - 2 = 78 $,
$ \frac{800}{80} + \frac{1560}{78} = 30 $ (个).
答: 该学校两批共购买了 30 个足球.
6. 2025 年 $ 8 $ 月 $ 7 $ 日至 $ 17 $ 日，第 $ 12 $ 届世界运动会在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱. 某文旅中心在售 $ A $，$ B $ 两种吉祥物挂件，已知每个 $ B $ 种挂件的价格是每个 $ A $ 种挂件价格的 $ \frac{4}{5} $，用 $ 300 $ 元购买 $ B $ 种挂件的数量比用 $ 200 $ 元购买 $ A $ 种挂件的数量多 $ 7 $ 个.
(1) 求每个 $ A $ 种挂件的价格；
(2) 某游客计划用不超过 $ 600 $ 元购买 $ A $，$ B $ 两种挂件，且购买 $ B $ 种挂件的数量比 $ A $ 种挂件的数量多 $ 5 $ 个，求该游客最多购买多少个 $ A $ 种挂件.
答案：6. 解: (1) 设每个 A 种挂件的价格为 $ x $ 元, 则每个 B 种挂件的价格为 $ \frac{4}{5}x $ 元.
根据题意, 得 $ \frac{300}{\frac{4}{5}x} = \frac{200}{x} + 7 $, 解得 $ x = 25 $.
经检验, $ x = 25 $ 是所列方程的解, 且符合题意.
答: 每个 A 种挂件的价格为 25 元.
(2) 设该游客购买 $ m $ 个 A 种挂件, 则购买 $ (m + 5) $ 个 B 种挂件.
由 (1) 知每个 A 种挂件的价格为 25 元, 则每个 B 种挂件的价格为 $ \frac{4}{5} × 25 = 20 $ (元).
根据题意, 得 $ 25m + 20(m + 5) ≤ 600 $, 解得 $ m ≤ 11 \frac{1}{9} $.
又 $ \because m $ 为整数, $ \therefore m $ 的最大值为 11.
答: 该游客最多购买 11 个 A 种挂件.
7. 某体育用品店计划购进篮球、排球共 $ 200 $ 个进行销售，所用资金不超过 $ 5000 $ 元. 已知篮球、排球的进价分别为每个 $ 30 $ 元，$ 24 $ 元，每个篮球售价是每个排球售价的 $ 1.5 $ 倍. 某学校在该店用 $ 1800 $ 元购买的篮球比用 $ 1500 $ 元购买的排球少 $ 10 $ 个.
(1) 篮球、排球的售价分别为每个多少元？
(2) 该店为了让利于消费者，决定将篮球的售价每个降低 $ 3 $ 元，排球的售价每个降低 $ 2 $ 元，问该店应如何进货才能获得最大利润？（购进的篮球、排球全部销售完）
答案：7. 解: (1) 设排球的售价为每个 $ x $ 元, 则篮球的售价为每个 $ 1.5x $ 元,
根据题意, 得 $ \frac{1500}{x} - \frac{1800}{1.5x} = 10 $, 解得 $ x = 30 $,
经检验, $ x = 30 $ 是所列方程的解, 且符合题意,
则 $ 1.5x = 1.5 × 30 = 45 $.
答: 篮球的售价为每个 45 元, 排球的售价为每个 30 元.
(2) 设该店购进篮球 $ a $ 个, 则购进排球 $ (200 - a) $ 个, 售完总利润为 $ w $ 元,
则 $ w = (45 - 30 - 3)a + (30 - 24 - 2)(200 - a) = 8a + 800 $.
$ \because 30a + 24(200 - a) ≤ 5000 $, 解得 $ a ≤ \frac{100}{3} $.
$ \because a $ 为正整数, $ \therefore a $ 的最大值为 33.
$ \because 8 ＞ 0 $,
$ \therefore w $ 随 $ a $ 的增大而增大,
$ \therefore $ 当 $ a = 33 $ 时, $ w $ 的值最大, 此时 $ 200 - 33 = 167 $ (个).
答: 该店购进篮球 33 个, 排球 167 个时能获得最大利润.
