23. (12分)(2024·姑苏区期中)(1)如图①，AB//CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC=3∠BEF，过点A作AG⊥EF交EF于点G，FK平分∠AFE，AK平分∠PAG，FK与AK交于点K.
①∠AKF=
45
°；
②若∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BEF，求∠FBE的度数.
(2)如图②，将②中确定的△BEF绕着点F以每秒4°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒，△AFG保持不变，当边BF与射线FA重合时停止，则在旋转过程中，△BEF的边BE所在的直线与△AFG的某一边所在的直线垂直时，直接写出此时t的值.
答案：23. (1)①45
②解：因为$AG ⊥ EF$，所以$∠ AGE = ∠ AGF = 90^{\circ}$，
所以$∠ EFA + ∠ FAG = 90^{\circ}$.
因为$∠ FAG = \frac{1}{2} ∠ BEF$，
所以$∠ EFH + ∠ HFA + \frac{1}{2} ∠ BEF = 90^{\circ}$.
因为$AB // CD$，所以$∠ FBE = ∠ BEC$，$∠ CEF = ∠ AFE = ∠ EFH + ∠ HFA$.
又因为$∠ CEF = ∠ BEC + ∠ BEF$，$∠ BEC = 3∠ BEF$，
所以$∠ CEF = 4∠ BEF$，
所以$4∠ BEF + \frac{1}{2} ∠ BEF = 90^{\circ}$，解得$∠ BEF = 20^{\circ}$，
所以$∠ BEC = 3∠ BEF = 60^{\circ}$，所以$∠ FBE = ∠ BEC = 60^{\circ}$.
(2)解：由②可得$∠ FBE = 60^{\circ}$，$∠ BEF = 20^{\circ}$，$∠ FAG = \frac{1}{2} ∠ BEF = 10^{\circ}$，$∠ AFG = 80^{\circ}$，$∠ BFE = 100^{\circ}$.
当$B'E' ⊥ FG$时，如答图①.
因为$∠ FE'B' = 20^{\circ}$，
所以$∠ EFE' = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$，
所以$∠ B'FE = 100^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}$，
所以$∠ BFB' = 100^{\circ} - ∠ B'FE = 70^{\circ}$，
此时旋转时间$t = \frac{70}{4} = 17.5$（秒）；
当$B'E' ⊥ AF$时，如答图②.
因为$∠ FE'B' = 20^{\circ}$，
所以$∠ AFE' = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$，
所以$∠ B'FA = 100^{\circ} - 70^{\circ} = 30^{\circ}$，
所以$∠ BFB' = 180^{\circ} - ∠ B'FA = 150^{\circ}$，
此时旋转时间$t = \frac{150}{4} = 37.5$（秒）；
当$B'E' ⊥ AG$时，如答图③.
因为$∠ FAG = 10^{\circ}$，所以$∠ B'HA = 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ} = ∠ E'HF$.
因为$∠ FE'B' = 20^{\circ}$，
所以$∠ E'FA = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 20^{\circ} = 80^{\circ}$，
所以$∠ B'FA = 100^{\circ} - 80^{\circ} = 20^{\circ}$，
所以$∠ BFB' = 180^{\circ} - ∠ B'FA = 160^{\circ}$，
此时旋转时间$t = \frac{160}{4} = 40$（秒）.
综上，此时t的值为17.5或37.5或40.
