1. 已知 $a_{1},a_{2},···,a_{2024}$ 都是正数,设 $M=(a_{1}+a_{2}+··· +a_{2023})(a_{2}+a_{3}+··· +a_{2024}),N=$ $(a_{1}+a_{2}+··· +a_{2024})(a_{2}+a_{3}+··· +a_{2023})$,那么 $M$ 与 $N$ 的大小关系是 (
)
A.$M＞N$
B.$M = N$
C.$M＜N$
D.不确定
答案：A
解析：
设$S = a_{2} + a_{3} + ··· + a_{2023}$，则：
$M=(a_{1}+S)(S + a_{2024}) = a_{1}S + a_{1}a_{2024} + S^{2} + a_{2024}S$，
$N=(a_{1}+S + a_{2024})S = a_{1}S + S^{2} + a_{2024}S$，
$M - N = (a_{1}S + a_{1}a_{2024} + S^{2} + a_{2024}S) - (a_{1}S + S^{2} + a_{2024}S) = a_{1}a_{2024}$。
因为$a_{1},a_{2024}$都是正数，所以$a_{1}a_{2024} ＞ 0$，即$M ＞ N$。
2. (2024·建邺区期中)从前,一位地主把一块长 $a$ 米,宽 $b$ 米$(b＞5)$ 的长方形土地租给租户张老汉,第二年,他对张老汉说:“我把这块地的长增加 5 米,宽减少 5 米,还是长方形的土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏!”，则第二年张老汉的租地面积是
米$^{2}$,相比第一年的租地面积
(填“变大”“变小”或“没有变化”).
答案：$(a + 5)(b - 5)$；变小
解析：
第一年面积为 $ab$ 平方米。第二年长为 $(a + 5)$ 米，宽为 $(b - 5)$ 米，面积为 $(a + 5)(b - 5) = ab - 5a + 5b - 25$ 平方米。比较大小：$ab - (ab - 5a + 5b - 25) = 5a - 5b + 25 = 5(a - b + 5)$，因 $b ＞ 5$ 且未提及 $a$ 与 $b$ 关系，但实际长方形长和宽均为正数，且原面积为 $ab$，新面积展开后比原面积少 $5(b - a) + 25$，但根据题意隐含条件，地主称“没吃亏”实为面积变小，故第二年面积变小。
3. 设 $M=(x^{2}+2x + 1)(x^{2}-2x + 1),N=(x^{2}+x + 1)(x^{2}-x + 1)$,则 $M$ 与 $N$ 的大小关系为 $M\_\_\_\_\_\_N$.(填“$＞$”“$＜$”“$≥$”或“$≤$”)
答案：$≤$
解析：
首先，计算$M$的值：
$M=(x^{2}+2x+1)(x^{2}-2x+1)$
$=(x+1)^{2}(x-1)^{2}$
$=(x^{2}-1)^{2}$
$=x^{4}-2x^{2}+1$
接着，计算$N$的值：
$N=(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)$
$=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}$
$=x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}$
$=x^{4}+x^{2}+1$
然后，计算$M-N$的值：
$M-N=(x^{4}-2x^{2}+1)-(x^{4}+x^{2}+1)$
$=-3x^{2}$
由于$-3x^{2} ≤ 0$，
因此，$M ≤ N$。
4. (2024·江阴期中)有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决,请先阅读下面的解题过程,再解答后面的问题.
例:若 $x = 123456789× 123456786$, $y = 123456788× 123456787$,试比较 $x,y$ 的大小.
解:设 $123456788 = a$,那么 $x=(a + 1)(a - 2)=a^{2}-a - 2,y = a(a - 1)=a^{2}-a$.
$\because x - y=(a^{2}-a - 2)-(a^{2}-a)=-2＜0,\therefore x＜y$.
看完后,你学到了这种方法吗? 再亲自试一试吧,你准行!
问题:(1)$x = 98760× 98765 - 98761× 98764,y = 98761× 98764 - 98762× 98763$,试比较 $x,y$ 的大小;
(2)计算:$1.345× 0.345× 2.69 - 1.345^{3}-1.345× 0.345^{2}$.
答案：(2)当$x + 2020 = 0$时，$x = - 2020$，此时$2x + 3 = - 4037 ≠ 0$，符合题意；
当$2x + 3 = 1$时，$x = - 1$，符合题意；
当$2x + 3 = - 1$时，$x = - 2$，此时$x + 2020 = 2018$，符合题意.
综上所述，$x$的值为$- 2$或$- 1$或$- 2020$.
4. 解：(1)$\because p + q = 4$，$\therefore a^{3} + a^{-3} + a^{-3} - a^{-3} = 4$，$\therefore 2a^{3} = 4$，
$\therefore a^{3} = 2$，$\therefore a^{-3} = \frac{1}{a^{3}} = \frac{1}{2}$，$\therefore p - q = a^{3} + a^{-3} - a^{3} + a^{-3} = 2a^{-3} = 1$.
(2)$\because p - q = 2a^{-3}$，$\therefore 2a^{-3} = 2$，$a^{-3} = 1$，$\therefore \frac{1}{a^{3}} = 1$，$\therefore a = 1$，
$\therefore p = 1 + 1 = 2$，$q = 1 - 1 = 0$.
