1. (2024·大丰区期中)若$(x^{2}+ax)(x-b)$中不含$x^{2}$项，则$a,b$满足的数量关系是(
)
A.$a+b=0$
B.$a-2b=0$
C.$a=b$
D.$a=\frac{1}{2}b$
答案：C
解析：
首先将表达式 $(x^{2} + ax)(x - b)$ 展开：
$(x^{2} + ax)(x - b) = x^{3} - b x^{2} + a x^{2} - a b x = x^{3} + (a - b)x^{2} - a b x$$ 题目要求不含 $x^{2}$ 项，因此 $x^{2}$ 项的系数为 0，即： $a - b = 0$$
所以 $a = b$。
2. (2024·赣榆区月考)已知关于$x$的二次三项式$ax^{2}+bx+1$与$2x^{2}-3x+1$的积不含$x^{2}$项，一次项系数为 1，则$ab$的值为
.
答案：40
解析：
$(ax^2 + bx + 1)(2x^2 - 3x + 1)$展开并合并同类项：
$=2ax^4 + (-3a + 2b)x^3 + (a - 3b + 2)x^2 + (b - 3)x + 1$。
由题意“不含$x^2$项”得：$a - 3b + 2 = 0$；“一次项系数为1”得：$b - 3 = 1$。
解得$b = 4$，代入$a - 3×4 + 2 = 0$得$a = 10$。
则$ab = 10×4 = 40$。
3. (2024·姜堰区期中)7 张如图①所示的长为$a$，宽为$b(b＞0)$的小长方形纸片，按如图②，③的方式不重叠地放在长方形$ABCD$内. 未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示.
(1)如图②，点$E,Q,P$在同一直线上，点$F,Q,G$在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为
，长方形$ABCD$的面积为
.(均用含$a,b$的代数式表示)
(2)如图③，点$F,H,Q,G$在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为$S$，$CP=x$.
①用含$a,b,x$的代数式表示$AE$；
②当$AB$长度不变，$BC$的长度变化时，按照同样的放置方式，要使$S$始终保持不变，那么$a,b$必须满足什么条件？
答案：(1) $3a^2 - 4b^2$；$3a^2 + 7ab + 4b^2$
(2) ① $AE = x + 4b - 3a$
② $a = b$
