8. (2024·淮安区期中)如图，在△ABC 中，∠C = ∠ABC = 30°，△ADE 是直角三角形，∠ADE = 90°，∠E = 30°，且边 AB 与 AD 重合，将△ADE 绕点 A 以每秒 5°的速度按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第
6或42
秒时，DE 与 AC 平行。
答案：8. 6或42
解析：
解：在△ABC中，∠C=∠ABC=30°，则∠BAC=180°-30°-30°=120°。
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，则∠DAE=60°。
设旋转时间为t秒，旋转角度为5t°。
情况一：DE与AC同向平行。
此时∠CAE=∠E=30°，∠BAE=∠BAC+∠CAE=120°+30°=150°，
旋转角度为∠DAE+∠BAE=60°+150°=210°，
5t=210，t=42。
情况二：DE与AC反向平行。
此时∠CAD=∠ADE=90°，旋转角度为∠CAD-∠DAE=90°-60°=30°，
5t=30，t=6。
综上，t=6或42。
6或42
三、解答题（共 52 分）
9. (12 分)如图，在△ABC 中，分别作∠ABC 的平分线 BM 和线段 AC 的垂直平分线 PQ，PQ 分别交 BC，BM 于点 D，E。（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
答案：9. 解:如答图.
10. (12 分)如图，△ABC 和△ADE 关于直线 MN 对称，BC 和 DE 的交点 F 在直线 MN 上。
（1）若 ED = 15，BF = 9，求 EF 的长；
（2）若∠ABC = 35°，∠AED = 65°，∠BAE = 16°，求∠BFN 的度数；
（3）连接 BD 和 EC，判断 BD 和 EC 的位置关系，并说明理由。
答案：10. 解:(1)因为△ABC和△ADE关于直线MN对称,ED = 15,BF = 9,
所以EF = CF,BF = DF = 9,ED = CB = 15,
所以EF = ED - DF = 15 - 9 = 6.
(2)因为△ABC和△ADE关于直线MN对称,∠ABC = 35°,∠AED = 65°,∠BAE = 16°,
所以∠AED = ∠ACB = 65°,
所以∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 35° - 65° = 80°.
因为∠BAE = 16°,所以∠EAC = ∠BAC - ∠BAE = 80° - 16° = 64°.
因为线段AE与AC关于直线MN对称,
所以∠EAN = ∠CAN = $\frac{1}{2}$∠EAC = $\frac{1}{2}$×64° = 32°,
所以∠BAN = ∠BAE + ∠EAN = 16° + 32° = 48°,
所以∠BFN = 180° - ∠AFB = ∠ABC + ∠BAN = 35° + 48° = 83°.
(3)平行. 理由:因为MN⊥EC,MN⊥BD,所以EC//BD,
所以BD和EC的位置关系为平行.
11. (14 分)A，B 均在格点上，在给定的网格中按要求画图。
（1）在图①中，点 O 在格点上，画出线段 AB 关于点 O 成中心对称的线段 CD（点 A 对应点 C）；
（2）在图②中，点 P 在格点上，画出线段 AB 绕点 P 按逆时针方向旋转 90°所得到的线段 EF（点 A 对应点 E）；
（3）在图③中，找格点 G，H，使四边形 ABGH 既是轴对称图形，又是中心对称图形。
答案：11. 解:(1)如答图①,线段CD即为所求.
(2)如答图②,线段EF即为所求.
(3)如答图③,四边形ABGH即为所求.
12. (14 分)有一长方形纸带 ABCD，E，F 分别是边 AD，BC 上的点，∠DEF = α(0°＜α＜90°且 α≠60°)，将纸带 ABCD 沿 EF 折叠成图①，再沿 GF 折叠成图②。
(1)当 α = 25°时，∠BFE 的度数为
25°
，∠GFC 的度数为
130°
；
(2)两次折叠后，求∠NFE 的度数。(用含 α 的代数式表示)
答案：12. (1)25° 130°
(2)解:分两种情况:
①当α ＜ 60°时,由折叠可得∠DEF = ∠GEF = α,所以∠DEG = 2α.
因为AD//BC,
所以∠FGD' = ∠DEG = 2α,∠EFG = ∠DEF = α.
又因为FC'//GD',所以∠GFC' = 180° - ∠FGD' = 180° - 2α,所以∠GFN = 180° - 2α,
所以∠NFE = ∠GFN - ∠EFG = 180° - 2α - α = 180° - 3α.
②当60° ＜ α ＜ 90°时,如答图,同理可得∠GFN = 180° - 2α,∠EFG = α,
所以∠NFE = ∠EFG - ∠GFN = α - (180° - 2α) = 3α - 180°.
综上所述,∠NFE的度数为180° - 3α或3α - 180°.
