17. 已知$a$，$b$，$c$满足$a^2 + 2b = 7$，$b^2 - 2c = -1$，$c^2 - 6a = -17$，则$a + b + c =$
3
。
答案：17. 3 解析：$\because a^{2}+2b=7$，$b^{2}-2c=-1$，$c^{2}-6a=-17$，$\therefore a^{2}+2b+b^{2}-2c+c^{2}-6a=7-1-17=-11$，$\therefore(a-3)^{2}+(b+1)^{2}+(c-1)^{2}-11=-11$，$\therefore(a-3)^{2}+(b+1)^{2}+(c-1)^{2}=0$，$\therefore a=3$，$b=-1$，$c=1$，$\therefore a+b+c=3-1+1=3$.
18. (泰州中考)已知$a = 2m^2 - mn$，$b = mn - 2n^2$，$c = m^2 - n^2(m ≠ n)$，用“＜”表示$a$，$b$，$c$的大小关系为
$b＜c＜a$
。
答案：18. $b＜c＜a$ 解析：由题意可知，$a-b=(2m^{2}-mn)-(mn-2n^{2})=(m^{2}+n^{2}-2mn)+m^{2}+n^{2}=(m-n)^{2}+m^{2}+n^{2}$，因为$m≠ n$，所以$(m-n)^{2}+m^{2}+n^{2}＞0$，所以$b＜a$；$a-c=(2m^{2}-mn)-(m^{2}-n^{2})=m^{2}-mn+n^{2}=(m-\frac{n}{2})^{2}+\frac{3}{4}n^{2}$，因为$m≠ n$，所以$(m-\frac{n}{2})^{2}+\frac{3}{4}n^{2}＞0$，所以$c＜a$；$c-b=(m^{2}-n^{2})-(mn-2n^{2})=m^{2}-mn+n^{2}=(m-\frac{n}{2})^{2}+\frac{3}{4}n^{2}$，同理$b＜c$，故答案为$b＜c＜a$.
三、解答题（共46分）
19. （12分）因式分解。
（1）$6xy - 9x^2y$；
（2）$a^2(x - y) + 4(y - x)$；
（3）$(y + 2x)^2 - (x + 2y)^2$。
答案：19. (1)原式$=3xy(2-3x)$.
(2)原式$=a^{2}(x-y)-4(x-y)=(x-y)(a^{2}-4)=(x-y)·(a+2)(a-2)$.
(3)原式$=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)-(x+2y)]=3(x+y)(x-y)$.
20. （6分）利用因式分解简便计算。
（1）①$105^2$；②$298^2$。
（2）$999^2 + 999 + 685^2 - 315^2$。
答案：20. (1)①$105^{2}=(100+5)^{2}=100^{2}+2×100×5+5^{2}=10000+1000+25=11025$.
②$298^{2}=(300-2)^{2}=300^{2}-2×300×2+2^{2}=90000-1200+4=88804$.
(2)$999^{2}+999+685^{2}-315^{2}=999×(999+1)+(685-315)×(685+315)=999×1000+370×1000=999000+370000=1369000$.
21. （6分）先因式分解，再求值。
（1）$15a^2(b + 4) - 30a(b + 4)$，其中$a = 2$，$b = -2$；
（2）$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2$，其中$x = 3.5$，$y = 1.5$。
答案：21. (1)原式$=15a(b+4)(a-2)$.
当$a=2$，$b=-2$时，原式$=15×2×(-2+4)×(2-2)=0$.
(2)原式$=(x^{2}+2xy+y^{2})(x^{2}-2xy+y^{2})=(x+y)^{2}(x-y)^{2}$.
当$x=3.5$，$y=1.5$时，原式$=(3.5+1.5)^{2}×(3.5-1.5)^{2}=100$.
22. （6分）（2025·南京校级月考）阅读下列材料：
若$a^2 - 2ab + b^2 = 0$，则$(a - b)^2 = 0$，得$a = b$；若$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ca = 0$，则$(a + b)^2 - 2c(a + b) + c^2 = 0$，所以$[(a + b) - c]^2 = 0$，得$a + b = c······$
解决下列问题：
（1）若$b^2 = 4(ab - a^2)$，证明：$b = 2a$；
（2）若$(b - c)^2 = 4(a - b)(c - a)$，证明：$b + c = 2a$。
答案：22. (1)由题意得$b^{2}=4ab-4a^{2}$，即$b^{2}-4ab+4a^{2}=0$，则$(b-2a)^{2}=0$，得$b=2a$.
(2)由题意得$b^{2}-2bc+c^{2}=4(ac-a^{2}-bc+ab)$，化成$b^{2}-2bc+c^{2}=4ac-4a^{2}-4bc+4ab$，即$b^{2}+2bc+c^{2}-4ab-4ac+4a^{2}=0$，则$(b+c)^{2}-4a(b+c)+4a^{2}=0$，所以$[(b+c)-2a]^{2}=0$，得$b+c=2a$.
