10. (2025·扬州期中)【实践探究】
数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图①所示的方式放置。如图①，正方形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，点 $O$ 又是正方形 $A_{1}B_{1}C_{1}O$ 的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形 $OEBF$ 为这两个正方形的重叠部分，正方形 $A_{1}B_{1}C_{1}O$ 可绕点 $O$ 旋转。
【问题发现】
(1)①线段 $AE$，$BF$ 之间的数量关系是
AE = BF
。
②在①的基础上，连接 $EF$，则线段 $AE$，$CF$，$EF$ 之间的数量关系是
$AE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$
。
【类比迁移】
(2)如图②，矩形 $ABCD$ 的中心 $O$ 是矩形 $A_{1}B_{1}C_{1}O$ 的一个顶点，$A_{1}O$ 与边 $AB$ 相交于点 $E$，$C_{1}O$ 与边 $BC$ 相交于点 $F$，连接 $EF$，延长 $C_{1}O$ 交 $AD$ 于点 $P$，连接 $EP$，$AC$，矩形 $A_{1}B_{1}C_{1}O$ 可绕点 $O$ 旋转。判断线段 $AE$，$CF$，$EF$ 之间的数量关系并证明。
【拓展应用】
(3)如图③，在 $Rt△ ACB$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，直角 $∠ EDF$ 的顶点 $D$ 在边 $AB$ 的中点处，它的两条边 $DE$ 和 $DF$ 分别与直线 $AC$，$BC$ 相交于点 $E$，$F$，$∠ EDF$ 可绕点 $D$ 旋转。当 $AE = 2$ 时，请直接写出线段 $BF$ 的长。
答案：10. (1)①$AE = BF$ 解析：$\because$四边形$ABCD$、四边形$A_{1}B_{1}C_{1}O$均为正方形，$\therefore AB = BC$，$∠ OAE = ∠ OBF = 45^{\circ}$，$∠ AOB = ∠ A_{1}OC_{1} = 90^{\circ}$，$OA = OB$，$\therefore ∠ AOE = ∠ BOF = 90^{\circ} - ∠ EOB$。
在$△ AOE$与$△ BOF$中，$\begin{cases}∠ OAE = ∠ OBF,\\OA = OB,\\∠ AOE = ∠ BOF,\end{cases}$ $\therefore △ OAE≌△ OBF(\mathrm{ASA})$，$\therefore AE = BF$。
②$AE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$ 解析：在$Rt△ EBF$中，$BF^{2} + BE^{2} = EF^{2}$，$\because AB = BC$，$AE = BF$，$\therefore BE = CF$，$\therefore AE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$。
(2)线段$AE$，$CF$，$EF$之间的数量关系为$AE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$。
证明如下：$\because$四边形$ABCD$、四边形$A_{1}B_{1}C_{1}O$均为矩形，矩形$ABCD$的中心为$O$，$\therefore OA = OC$，$∠ DAB = ∠ A_{1}OC_{1} = 90^{\circ}$，$AD// BC$，$\therefore ∠ PAO = ∠ FCO$。在$△ OAP$与$△ OCF$中，$\begin{cases}∠ AOP = ∠ COF,\\OA = OC,\\∠ PAO = ∠ FCO,\end{cases}$ $\therefore △ OAP≌△ OCF(\mathrm{ASA})$，$\therefore AP = CF$，$OP = OF$。$\because ∠ A_{1}OC_{1} = 90^{\circ}$，$\therefore EP = EF$。在$Rt△ PAE$中，由勾股定理得$AE^{2} + AP^{2} = EP^{2}$，$\therefore AE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$。
(3)$BF$的长为$\frac{13}{8}$或$\frac{37}{8}$。
解析：①当点$E$在边$AC$上时，由(2)的结论知$AE^{2} + BF^{2} = EF^{2}$。另一方面，在$Rt△ CEF$中，由勾股定理得$CE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$，即$CE^{2} + CF^{2} = AE^{2} + BF^{2}$。设$BF = x$，则$CF = 4 - x$，而$CE = AC - AE = 3 - 2 = 1$，$\therefore 1^{2} + (4 - x)^{2} = 2^{2} + x^{2}$，解得$x = \frac{13}{8}$，即$BF = \frac{13}{8}$。②当点$E$在$CA$延长线上时，如图，把$Rt△ ABC$补成矩形$ACBM$，延长$FD$交$AM$延长线于点$P$，连接$EP$，与(2)证法相同，同样有$AE^{2} + BF^{2} = EF^{2}$，另一方面，在$Rt△ CEF$中，由勾股定理得$CE^{2} + CF^{2} = EF^{2}$，即$CE^{2} + CF^{2} = AE^{2} + BF^{2}$。设$BF = x$，则$CF = x - 4$，而$CE = AC + AE = 3 + 2 = 5$，$\therefore 5^{2} + (x - 4)^{2} = 2^{2} + x^{2}$，解得$x = \frac{37}{8}$，即$BF = \frac{37}{8}$。
综上，$BF$的长为$\frac{13}{8}$或$\frac{37}{8}$。
