综合与实践 仿生折叠
【问题背景】
在自然界中，从蝴蝶翅膀的收展、花苞的开合，到甲虫鞘翅的折叠保护、枯叶蝶模拟叶片的折叠形态，生物通过精妙的折叠结构实现了空间占用最小化、环境适应性最大化的生存优势。而“仿生折叠”是仿生学与现代折叠技术深度融合的创新领域，其发展源于人类对自然生物高效空间利用机制的长期探索。
【问题探究】
“风琴折”常用在航天器太阳能电池板的折叠中，这种折叠方式是通过反向折叠形成手风琴状结构，其中每个折页的折叠方向与相邻折页相反，如图①。
(1) 现有一张长 24 cm、宽 8 cm 的矩形纸片，将矩形的长边分为 n 等份，然后沿长边在等分点处进行“风琴折”，折痕均与原矩形纸片的宽平行，折叠后多面重叠形成一个新的矩形。若要使得新矩形的对角线不超过 10 cm，则正整数 n 的最小值为
4
。
(2) 如图②，在矩形 ABCD 中，AB = 30 cm，AD = 10 cm，图中虚线与 AB 或 CD 所夹锐角均为 45°，且至少有一端在 AB 或 CD 的六等分点上。沿虚线进行“风琴折”，折叠后多面重叠形成新的四边形，则该四边形是哪种特殊四边形？折叠后形成的四边形相比于原本的矩形，面积缩小了多少？
【问题拓展】
(3) 仿生折叠的知识在日常生活也有所体现，如折叠雨伞、衣物收纳等等。如图③，是小华学习到一种矩形毛巾的折叠收纳方法，虚线为折叠痕迹，收纳完成后毛巾的形状为等腰直角三角形(忽略毛巾的厚度)。同时小华还了解到毛巾折叠的最后部分，可留一些区域插入到折叠图形的夹层中用于固定折叠图形。
① 请根据题意推测折叠痕迹 EF 的作用：
使得剩余部分能够插入到折叠图形的夹层中(描述合理即可)
。
② 若该毛巾原本为单层，则收纳完成后其层数最多部分有
16
层。
答案：(1)4 解析:由勾股定理可得，矩形的长边折叠后最长为$\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6(\mathrm{cm})$，当$n$为$4$时，矩形的长边折叠后边长为$6\mathrm{cm}$，故$n$的最小值为$4$。
@@(2)设图形由左下向右上折叠，将图形分为$8$个区域，共需折叠$7$次，如图。折叠$1$次后，①、②区域形成的图形为等腰梯形，面积为$\frac{1}{2}×10×10 - \frac{1}{2}×5×5 = \frac{75}{2}(\mathrm{cm}^{2})$；折叠$2$次后，①—③区域形成的图形为平行四边形，相比于折叠$1$次时新增了一个等腰直角三角形，面积变为$\frac{75}{2} + \frac{1}{2}×5×5 = 50(\mathrm{cm}^{2})$；折叠$3$次后，①—④区域形成的图形为等腰梯形，面积变为$50 + \frac{1}{2}×5×5 = \frac{125}{2}(\mathrm{cm}^{2})$；折叠$4$次后，①—⑤区域形成的图形为平行四边形，面积变为$\frac{125}{2} + \frac{1}{2}×5×5 = 75(\mathrm{cm}^{2})$；折叠$5$次后，①—⑥区域形成的图形为等腰梯形，面积变为$75 + \frac{1}{2}×5×5 = \frac{175}{2}(\mathrm{cm}^{2})$；折叠$6,7$次后，区域⑦,⑧被原本的折叠图形覆盖，图形无变化，仍为等腰梯形，面积为$\frac{175}{2}\mathrm{cm}^{2}$。原本的矩形面积为$10×30 = 300(\mathrm{cm}^{2})$，$300 - \frac{175}{2} = \frac{425}{2}(\mathrm{cm}^{2})$。故折叠后多面重叠形成的四边形是等腰梯形，相比于原本的矩形，面积缩小了$\frac{425}{2}\mathrm{cm}^{2}$。
@@(3)①使得剩余部分能够插入到折叠图形的夹层中(描述合理即可) 解析:由题意可得，在第二步骤中，由下往上沿折痕折叠，故上方的矩形为剩余部分，但其不能直接插入原本折叠形成的等腰直角三角形中，需先沿折痕$EF$将角折叠，之后再插入原本的折叠图形中。②16 解析:在第二步骤中，由折叠过程可知最多有$8$个面折叠在一起，而由第一步骤可得这$8$个面均为双层，故收纳完成后其层数最多部分有$16$层。
