答案：1. 20 解析：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且周长为 40 cm，
∴ AD + CD = 20 cm，点 O 是线段 AC 的中点。
∵ OE ⊥ AC，
∴ OE 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，
∴ △DCE 的周长为 CE + DE + CD = AE + DE + CD = AD + CD = 20 cm。

答案：2. C 解析：
∵ 在 ▱ABCD 中，EF // BC，GH // AB，
∴ 四边形 HPFD、BEPG、AEPH、CFPG 为平行四边形，
∴$ S_{△PEB} = S_{△BGP}$，同理可得$ S_{△PHD} = S_{△DFP}$，$S_{△ABD} = S_{△CDB}$，
∴$ S_{△ABD} - S_{△PEB} - S_{△PHD} = S_{△CDB} - S_{△BGP} - S_{△DFP}$，即$ S_{▱AEPH} = S_{▱PFCG}$。
∵$ S_{△BPG} = 1$，
∴$ S_{▱BEPG} = 2S_{△BPG} = 2$。
∵ CG = 2BG，
∴$ S_{▱PFCG} = 2S_{▱BEPG} = 2×2 = 4$，
∴$ S_{▱AEPH} = S_{▱PFCG} = 4$。故选 C。

答案：
3. 27 解析：如图，连接 EF，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB // CD，

∴ △EFC 的 FC 边上的高与 △DCF 的 FC 边上的高相等，
∴$ S_{△EFC} = S_{△DCF}$，
∴$ S_{△EFQ} = S_{△DCQ}$，同理$ S_{△BFE} = S_{△BFA}$，
∴$ S_{△EFP} = S_{△ABP}$。
∵$ S_{△ABP} = 13 cm²$，$S_{△CDQ} = 14 cm²$，
∴$ S_{四边形EPFQ} = S_{△EFP} + S_{△EFQ} = S_{△ABP} + S_{△DCQ} = 13 + 14 = 27(cm²)$。

答案：
4. 8 或 24 解析：如图，
∵ BE 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC，

∴ ∠BEA = ∠CBE，
∴ ∠ABE = ∠BEA，
∴ AB = AE = 6。
∵ 点 E 将 AD 分为 1:3 两部分，
∴ DE = 18 或 DE = 2，
∴ 当 DE = 18 时，AD = 24；当 DE = 2 时，AD = 8。故答案为 8 或 24。

答案：
5. 55°或 35° 解析：①当点 E 在线段 AD 上时，如图①所示。
∵ BE 是 AD 边上的高，∠EBD = 20°，
∴ ∠ADB = 90° - 20° = 70°。
∵ AD = BD，
∴ ∠A = ∠ABD = $\frac{180° - 70°}{2}$ = 55°。


②当点 E 在线段 AD 的延长线上时，如图②所示。
∵ BE 是 AD 边上的高，∠EBD = 20°，
∴ ∠BDE = 70°。
∵ AD = BD，
∴ ∠A = ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠BDE = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。综上，∠A 的度数为 55°或 35°。

答案：
6. 48 或 168 解析：①如图①，高 AE 在 △ABC 内时，在 Rt△ABE 中，BE = $\sqrt{AB^{2} - AE^{2}}$ = $\sqrt{15^{2} - 12^{2}}$ = 9，在 Rt△AEC 中，CE = $\sqrt{AC^{2} - AE^{2}}$ = $\sqrt{13^{2} - 12^{2}}$ = 5，
∴ BC = BE + EC = 14，
∴ S_{▱ABCD} = BC·AE = 14×12 = 168。
②如图②，高 AE 在 △ABC 外时，由①知，BE = 9，CE = 5，BC = BE - CE = 9 - 5 = 4，
∴ S_{▱ABCD} = BC·AE = 4×12 = 48。综上，▱ABCD 的面积为 48 或 168。

答案：
7. (1)直线 l_{1}:y = -$\frac{1}{2}$x + 6，当 x = 0 时，y = 6，当 y = 0 时，x = 12，
∴ B(12, 0)，C(0, 6)。解方程组 $\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + 6 \\ y = \frac{1}{2}x\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x = 6 \\ y = 3\end{cases}$，
∴ A(6, 3)，即 A(6, 3)，B(12, 0)，C(0, 6)。
(2)存在点 P，坐标为(4, 8)或(4, -4)或(-4, 4)。
解析：分以下三种情况：
以 CD 为对角线时，OC // DP，如图①。
∵ C(0, 6)，D(4, 2)，O(0, 0)，
∴ 点 P 即为点 D 向上平移 6 个单位长度，
∴ P(4, 8)；


以 OD 为对角线时，OC // DP'，如图②。
∵ C(0, 6)，D(4, 2)，O(0, 0)，
∴ 点 P'

即为点 D 向下平移 6 个单位长度，
∴ P'(4, -4)；
以 OC 为对角线时，如图③。
∵ C(0, 6)，D(4, 2)，O(0, 0)，四边形 ODCP'' 是平行四边形，
∴ P''D 的中点坐标与 OC 的中点坐标相同，为(0, 3)，
∴ P''(-4, 4)。综上所述，符合条件的点 P 的坐标为(4, 8)或(4, -4)或(-4, 4)。

答案：8. 2.4 解析：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO = 2，
∴ AC = 2AO = 2×2 = 4。设 BE = x，则 CE = 5 - x，
∵ AE ⊥ BC，
∴ 在 Rt△ABE，Rt△ACE 中，根据勾股定理得，AE² = AB² - BE² = AC² - CE²，
∴ 3² - x² = 4² - (5 - x)²，整理得，10x = 18，
∴ x = 1.8，
∴ AE = $\sqrt{3^{2} - 1.8^{2}}$ = $\sqrt{5.76}$ = 2.4。

答案：
9. 5 解析：如图所示，连接 BE，根据基本作图，可设 BE = AE = x，
∵ 在 ▱ABCD 中，AD ⊥ BD，BC = 8，
∴ AD = BC = 8，∠BDE = 90°，ED = AD - AE = 8 - x。在 Rt△BDE 中，BD = 4，由勾股定理得 BD² + DE² = BE²，
∴ x² = (8 - x)² + 4²，解得 x = 5，即 AE = 5。