1. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ ACB = 25^{\circ}$，现将$□ ABCD$沿$EF$折叠，使点$C$与点$A$重合，点$D$落在点$G$处，则$∠ GFE$的度数是(
C
)
A.$135^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$100^{\circ}$
答案：1. C 解析:由折叠的性质可得$∠EAC=∠ECA=25^{\circ },∠FEC=∠AEF,∠DFE=∠GFE$。$\because ∠EAC+∠ECA+∠AEC=180^{\circ },\therefore ∠AEC=130^{\circ },\therefore ∠FEC=65^{\circ }$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AD// BC,\therefore ∠DFE+∠FEC=180^{\circ },\therefore ∠DFE=115^{\circ },\therefore ∠GFE=115^{\circ }$，故选C。
2. (2025·福清期中)如图，在三角形$ABC$中，点$D$在$AB$上，点$E$在$AC$上，将$△ ADE$沿直线$DE$翻折到$△ FDE$处，连接$CF$，$DF$向右平移若干单位长度后恰好能与边$BC$重合，若四边形$BCFD$的周长为$22$，则$AB$的长为
11
.
答案：2. 11 解析:
∵ DF向右平移若干单位长度后恰好能与边BC重合，$\therefore DF=BC,DF// BC$，
∴ 四边形BCFD为平行四边形，$\therefore CF=BD$。根据折叠的性质可得，$AD=DF$。
∵ 四边形BCFD的周长为22，$\therefore BD+BC+CF+DF=2BD+2DF=22,\therefore BD+DF=11$。$\because AD=DF,\therefore BD+AD=AB=11$。
3. （扬州中考）如图，将$□ ABCD$沿过点$A$的直线$l$折叠，使点$D$落到$AB$边上的点$D'$处，折痕$l$交$CD$边于点$E$，连接$BE$.
（1）求证：四边形$BCED'$是平行四边形；
（2）若$BE$平分$∠ ABC$，求证：$AB^{2} = AE^{2} + BE^{2}$.
答案：3. (1)
∵ 将$□ ABCD$沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点$D'$处，$\therefore ∠DAE=∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E$。$\because DE// AD',\therefore ∠DEA=∠EAD'$，$\therefore ∠DAE=∠EAD'=∠DEA=∠D'EA$，$\therefore AD// D'E$，
∴ 四边形$DAD'E$是平行四边形，$\therefore DE=AD'$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AB// DC,AB=DC,\therefore CE// D'B,CE=D'B$，
∴ 四边形$BCED'$是平行四边形。
(2)
∵ BE平分$∠ABC,\therefore ∠CBE=∠EBA$。$\because AD// BC,\therefore ∠DAB+∠CBA=180^{\circ }$。$\because ∠DAE=∠BAE,\therefore ∠EAB+∠EBA=90^{\circ },\therefore ∠AEB=90^{\circ },\therefore AB^{2}=AE^{2}+BE^{2}$。
4. (2025·白银模拟)如图①，四边形$ABCD$是平行四边形，连接$BD$，动点$P$从点$A$出发，沿折线$AB \to BD \to DA$匀速运动，回到点$A$后停止.设点$P$运动的路程为$x$，线段$AP$的长为$y$，图②是$y$与$x$的函数关系的大致图象，则四边形$ABCD$的面积是(
C
)
A.$44$
B.$48$
C.$96$
D.$120$
答案：4. C 解析:结合图象可得，$AB=10,AB+BD=20,AD=12$，$\therefore BD=10$，$\therefore △ABD$为等腰三角形，
∴ AD边上的高 =$\sqrt {AB^{2}-(\frac {1}{2}AD)^{2}}=\sqrt {10^{2}-6^{2}}=8$，$\therefore S_{□ ABCD}=12×8=96$，故选C。
5. (2025·长春期中)如图，在$□ ABCD$中，$AB = 3\ \mathrm{cm}$，$AD = 5\ \mathrm{cm}$，$BD = 4\ \mathrm{cm}$，动点$P$从点$D$出发，以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度沿折线$DC - CB - BD$运动，连接$AP$交$BD$于点$O$，设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)当点$P$在$DC$边上运动时，则$DP =\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$CP =\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.(用含$t$的代数式表示)
(2)在(1)的条件下，当$△ OPD$是等腰三角形时，求$t$的值.
(3)点$Q$与点$P$同时出发，且点$Q$在$AB$边上由点$A$向点$B$运动，点$Q$的速度是$1\ \mathrm{cm/s}$，当直线$PQ$平分$□ ABCD$的面积时，直接写出$t$的值.
答案：5. (1)4t 3 - 4t 解析:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$AB=3cm,\therefore CD=AB=3cm$，当点P在DC边上运动时，$DP=4tcm,CP=(3 - 4t)cm$。
(2)$\because AB=3cm,AD=5cm,BD=4cm,\therefore AB^{2}+BD^{2}=3^{2}+4^{2}=25=AD^{2}$，$\therefore △ABD$是直角三角形，且$∠ABD=90^{\circ }$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AB// CD,AB=CD=3cm,\therefore ∠BDC=∠ABD=90^{\circ }$，
∴ 当$△OPD$是等腰三角形时，$DP=DO=4tcm,\therefore ∠DOP=∠DPO$。又$AB// CD,\therefore ∠BAO=∠DPO$。$\because ∠AOB=∠DOP,\therefore ∠BAO=∠BOA,\therefore AB=BO=3cm$。又$BO=BD - DO=(4 - 4t)cm,\therefore 4 - 4t=3$，解得$t=\frac {1}{4}$，$\therefore$ 在(1)的条件下，当$△OPD$是等腰三角形时，t的值是$\frac {1}{4}$。
(3)t的值为$\frac {3}{5}$或$\frac {5}{2}$或3。解析:如图，连接AC交BD于点G，则点G为$□ ABCD$的对称中心。当点P在CD上，且PQ过点G时，如图①，直线PQ平分$□ ABCD$的面积。$\because AB// CD,\therefore ∠ABD=∠CDB,∠BQG=∠DPG$。又$GB=GD,\therefore △BQG≌ △DPG,\therefore BQ=DP$，即$4t=3 - t,\therefore t=\frac {3}{5}$。当点P运动到点G时，如图②，直线PQ平分$□ ABCD$的面积，此时$BP=PD=2cm$。$\because BP=(4t - 8)cm,\therefore 4t - 8=2$，则$t=\frac {5}{2}$。当点Q与点B重合时，点P与点D也重合，此时PQ平分$□ ABCD$的面积，此时$t=3$。
