8. (2025·福州校级月考)如图，在面积是12的平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$绕着它的中点$O$按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交$AD$，$BC$于点$E$，$F$，若$BF = 2CF$，则图中阴影部分的面积是
2
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答案：8. 2 解析：在平行四边形 ABCD 中，AD//BC，
∴ ∠EAO = ∠FCO.
∵ 点 O 是 AC 的中点，
∴ AO = CO.
∵ ∠AOE = ∠COF，
∴ △AOE≌△COF，
∴ AE = CF. 如图，过点 A 作 AH⊥BC，交 BC 于点 H，
∴ $S_{□ ABCD}=BC· AH=12$，$S_{阴影部分}=\frac{1}{2}FC· AH$.
∵ BF = 2CF，
∴ BC = 3FC，
∴ $S_{阴影部分}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}BC· AH=\frac{1}{6}×12=2$.
一题多解 如图，连接 BD，
∵ 点 O 是 AC 的中点，
∴ 点 O 在 BD 上，且点 O 是 BD 的中点，
∴ $S_{△ COB}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}=3$.
∵ BF = 2CF，
∴ $S_{△ COF}=\frac{1}{3}S_{△ COB}=1$，同理可得，$S_{△ AOE}=1$，
∴ 图中阴影部分的面积 = 1 + 1 = 2.
9. (2025·中山月考)已知平行四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$.
(1)如图①，若直线$EF$过点$O$与$AD$，$BC$相交于点$F$，$E$，求证：$OE = OF$.
(2)如图②，若直线$EF$过点$O$与$DC$，$BA$的延长线相交于$F$，$E$，请问(1)结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
(3)若直线$EF$过点$O$与平行四边形$ABCD$的一组对边相交于$F$，$E$，平行四边形$ABCD$的面积为20，$BC = 10$，$CD = 6$，则直线$EF$在绕点$O$旋转的过程中，线段$EF$的最小值为
2
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答案：9. (1)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，AD//BC，
∴ ∠OAF = ∠OCE，在△AOF 和△COE 中，$\begin{cases}∠ OAF = ∠ OCE,\\AO = OC,\\∠ AOF = ∠ COE,\end{cases}$
∴ △AOF≌△COE(ASA)，
∴ OE = OF.
(2)成立. 证明如下：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，AB//CD，
∴ ∠E = ∠F，在△OAE 和△OCF 中，$\begin{cases}∠ E = ∠ F,\\∠ AOE = ∠ COF,\\OA = OC,\end{cases}$
∴ △AOE≌△COF(AAS)，
∴ OE = OF.
(3)2 解析：①当直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中，直线 EF 与 AD，BC 相交时，EF⊥BC 时，EF 最短.
∵ 平行四边形的面积为 20，BC = 10，
∴ $S_{平行四边形 ABCD}=BC· EF=10× EF=20$，
∴ EF = 2，
∴ 直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中，EF⊥BC 时，EF 最短，EF 的最小值为 2.
②当直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中，直线 EF 与 DC，BA 相交时，EF⊥AB 时，EF 最短，同①的方法，得出 EF 最小值为 $\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$.
综上所述，直线 EF 在绕点 O 旋转的过程中，EF⊥BC 时，EF 最短，EF 的最小值为 2.
10. (2025·绥化模拟)如图①，平行四边形$ABCD$中，点$P$为对角线$BD$上的一动点(不与$B$，$D$重合)，$CP$为直线且$BF⊥ CP$，$DE⊥ CP$，点$O$为对角线交点.
(1)若点$O$与点$P$重合时，线段$OE$与$OF$的关系为
OE = OF
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(2)若$∠ A = 90^{\circ}$，且点$P$运动到图②位置时，(1)中的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
(3)如图③，当$P$点运动至$BD$的延长线上，且$∠ EOF = 120^{\circ}$时，试探究线段$DE$，$OF$，$BF$三者之间的数量关系.
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答案：10. (1)OE = OF 解析：当点 O 与点 P 重合时，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，点 O 为对角线交点，
∴ OB = OD.
∵ BF⊥AC，DE⊥AC，
∴ ∠BFO = ∠DEO = 90°.
∵ ∠BOF = ∠DOE，
∴ △BFO≌△DEO(AAS)，
∴ OE = OF.
(2)成立，证明如下：如图①所示，连接 FO 并延长，交 DE 的延长线于点 G，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD.
∵ BF⊥CP，DE⊥CP，
∴ BF//DE，
∴ ∠FBO = ∠GDO，在△FBO 和△GDO 中，$\begin{cases}∠ FBO = ∠ GDO,\\BO = DO,\\∠ BOF = ∠ DOG,\end{cases}$
∴ △FBO≌△GDO，
∴ FO = GO.
∵ DE⊥CP，
∴ ∠PEG = ∠PED = 90°，由直角三角形的性质可得 OE = OF = OG，
∴ (1)中的关系仍然成立.
(3)如图②所示，连接 EO 并延长交 FB 的延长线于点 H，
∵ BF⊥CP，DE⊥CP，
∴ BH//DE，
∴ ∠H = ∠DEO，在△BHO 和△DEO 中，$\begin{cases}∠ H = ∠ DEO,\\∠ HOB = ∠ EOD,\\OB = OD,\end{cases}$
∴ △BHO≌△DEO，
∴ BH = DE，HO = EO，
∴ FH = BH + BF = DE + BF.
∵ ∠EOF = 120°，
∴ ∠HOF = 60°.
∵ BF⊥FP，
∴ ∠HFE = 90°，OH = OF = OE，
∴ △OHF 是等边三角形，
∴ OF = FH = DE + BF.
