数学探究▶摸球试验
【问题背景】
在一只不透明的口袋里,装有若干个除了颜色外均相同的小球,某数学学习小组用其做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复这个过程.
【问题探究】
(1)若口袋中装有黑、白两种球,经过试验,制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示,经分析可以估计从口袋里摸出黑球与白球的概率比为
$1:4$
.
(2)若口袋中装有红、蓝、黄三种颜色的小球,试验结束后,统计出摸出黄球的次数是200,摸出红球的次数比摸出蓝球次数的2倍少100,摸出黄球的频率为$\frac{1}{5}$,则共摸了多少次球? 从口袋中摸出红球的概率约为多少?
【问题拓展】
(3)若口袋中装有红球m个、黄球n个,小明和小聪分别进行了不同的试验,小明往该口袋中再放入同型号的红球1个,把球摇匀后,从中任取一球出来,做了大量重复试验,估计出摸出红球的概率为0.5;小聪从该口袋中取出2个红球,把球摇匀后,从中任取一球出来,做了大量重复试验,估计出摸出红球的概率为0.2,求m+n的值.
答案：(1) $1:4$ 解析:由题图可知,摸到黑球的概率约为 $0.2$,则摸到白球的概率约为 $0.8$,∴ 从口袋里摸出黑球与白球的概率比为 $0.2:0.8 = 1:4$.
@@(2) $200 ÷ \frac{1}{5} = 1000$ (次),设摸出蓝球 $x$ 次.由题意,得 $x + (2x - 100) + 200 = 1000$,解得 $x = 300$, $2x - 100 = 500$.∴ 共摸了 $1000$ 次球,摸出蓝球 $300$ 次,红球 $500$ 次,∴ 摸出红球的概率约为 $\frac{500}{1000} = \frac{1}{2}$.
@@(3) 根据题意,知 $\begin{cases}0.5(m + n + 1) = m + 1,\\0.2(m + n - 2) = m - 2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m = 3,\ = 4,\end{cases}$∴ $m + n = 7$.
