2. (2024·连云港期末) 综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动.
【操作判断】
(1) 如图①，将边长为 $ 8 \, \mathrm{cm} $ 的正方形 $ ABCD $ 对折，使点 $ D $ 与点 $ B $ 重合，得到折痕 $ AC $. 打开后，再将正方形 $ ABCD $ 折叠，使得点 $ D $ 落在 $ BC $ 边上的点 $ P $ 处，得到折痕 $ GH $，折痕 $ GH $ 与折痕 $ AC $ 交于点 $ Q $. 打开铺平，连接 $ PQ $，$ PD $，$ PH $. 若点 $ P $ 的位置恰好使得 $ PH ⊥ AC $.
① $ ∠PDH = $
22.5°
；
② 求 $ CQ $ 的长.
【探究提炼】
(2) 如图②，若 (1) 中的点 $ P $ 是 $ BC $ 上任意一点，求 $ ∠DPQ $ 的度数.
【理解应用】
(3) 如图③，某广场上有一块边长为 $ 40 \, \mathrm{m} $ 的菱形草坪 $ ABCD $，其中 $ ∠BCD = 60^{\circ} $. 现打算在草坪中修建步道 $ AC $ 和 $ MN - ND - DM $，使得点 $ M $ 在 $ BC $ 上，点 $ N $ 在 $ AC $ 上，且 $ MN = ND $. 请问步道 $ MN - ND - DM $ 所围成的 $ △MND $(步道宽度忽略不计)的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由.
答案：2. (1)①22.5° 解析:如图①,在正方形ABCD中，
∵AD=CD=BC=AB=8cm,∠BCD=90°,∠ACD=∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°,PH⊥AC,
∴∠PHC=∠HPC=45°,PI=IC=HI,由折叠可知PH=DH,
∴∠PDH=∠DPH.
∵∠PDH+∠DPH=∠PHC=45°,
∴∠PDH=22.5°.
②由折叠可知∠PHQ=∠DHQ,∠PQH=∠DQH,QP=QD,
∴∠QHD=$\frac{1}{2}$∠PHD=$\frac{180° - ∠PHC}{2}$=67.5°,如图①,连接QD,
∵HI=PI,PH⊥AC,即QC是PH的垂直平分线，
∴QP=QH,
∴QP=QH=QD,
∴∠QHD=∠QDH=67.5°,
∴∠CQD=180° - ∠QDC - ∠QCD=180° - 67.5° - 45°=67.5°,
∴∠CQD=∠QDC,
∴CQ=CD=8cm.
(2)如图②,过点Q作QE⊥BC,垂足为E,过点Q作QF⊥CD,垂足为F,连接QD,
∴∠QEP=∠QFD=90°.
∵AC是∠BCD的平分线，∠BCD=90°，
∴QE=QF,∠EQF=90°.
∵QP=QD,
∴Rt△QEP≌Rt△QFD(HL),∠DPQ=∠QDP,
∴∠DQF=∠PQE,
∴∠PQE+∠PQF=∠PQF+∠DQF=90°,
∴∠PQD=90°,
∴∠DPQ=∠QDP=45°.
(3)100√3m² 解析:如图③,过点N作NE⊥BC,垂足为E,过点N作NF⊥CD,垂足为F.
∵∠BCD=60°,
∴∠ENF=360° - ∠NFC - ∠NEC - ∠BCD=120°.
∵在菱形ABCD中,AC是∠BCD的平分线，∠BCD=60°,
∴NE=NF.
∵NM=ND,
∴Rt△NEM≌Rt△NFD(HL),
∴∠ENM=∠FND,
∴∠ENM+∠MNF=∠MNF+∠FND,
∴∠DNM=∠ENF=120°.
∵DN=MN,
∴∠NMD=∠NDM=$\frac{180° - ∠DNM}{2}$=30°,过点N作NK⊥DM,垂足为K,设DM=a,则MK=$\frac{1}{2}$DM=$\frac{a}{2}$,NK=$\frac{1}{2}$MN,
∵MN²=NK²+MK²,即(2NK)²=NK²+($\frac{a}{2}$)²,
∴NK=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a,
∴S△NDM=$\frac{1}{2}$MD·NK=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²,
∴当a最小时，△MND的面积最小,
∴当DM⊥BC时,△MND的面积最小.
∵DM⊥BC,∠BCD=60°,
∴∠CDM=30°,
∴MC=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}×40=20(m)$,
∴DM=$\sqrt{CD² - CM²}=20\sqrt{3}(m)$,即a = 20√3,S△NDM=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{12}×(20\sqrt{3})²=100\sqrt{3}(m²)$,
∴S△NDM的最小值为100√3m².
