6. (2025·淮安期末)综合与实践:数学老师带领学生探究矩形的旋转,同学们用矩形纸片操作实践并探索发现. 如图①,四边形 $ABCD$ 是一张矩形纸片,$AB = 10$,$AD = 12$.先将 $DC$ 边向上翻折,使 $AB$ 与 $DC$ 重合,折痕为 $EF$(如图②),沿 $EF$ 裁开得到两个矩形. 矩形 $ABFE$ 保持不动,将矩形 $DCF'E$ 绕点 $E$ 逆时针旋转,点 $F$ 的对应点为 $F'$.
(1)如图③,小聪将矩形 $DCF'E$ 的顶点 $F'$ 旋转至边 $AB$ 上,连接 $DF$ 交 $EF'$ 于点 $O$.
①则 $BF'$ 的长为
2
;
②求证:$OD = OF$.
(2)如图④,小明继续旋转矩形 $DCF'E$,他发现,当点 $F'$ 落在 $FA$ 的延长线上时,点 $C$,$A$,$B$ 三点在同一条直线上,小明的发现正确吗? 请说明理由.
(3)如图⑤,小红在小明的基础上继续探究,连接 $CF$ 交 $AE$ 于点 $G$,延长 $CF'$ 交 $EA$ 的延长线于点 $H$,小红说她可以计算出 $GH$ 的长,则 $GH =$
25/3
.
答案：6.(1)①2 解析:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°,由图①可得,EF=EF'=AB=10,AE=DE=6,
∴AF'=√(10² - 6²)=8,
∴BF'=10 - 8=2.
②如图①,连接FF’,过点F作FG⊥EF'于点G,
∵S△EFF'=1/2 EF·BF = 1/2 EF'·FG,EF=EF',
∴FG=BF=6=DE.
∵∠DEO=∠FGO=90°,∠DOE=∠GOF,
∴△DEO≌△FGO(AAS),
∴OD=OF.
(2)小明的发现正确,理由如下:如图②,连接AC,CE,BE,由折叠得，四边形AEFB和四边形EDCF'是全等矩形,
∴CF'=AE=6,∠CF'E=∠AEF=90°,EF'=EF=10,
∴△CF'E≌△AEF(SAS),
∴∠CEF'=∠AFE,AF=CE.
∵EF=EF'=10,
∴∠EF'F=∠EFF',
∴∠EF'F=∠CEF',
∴FF'//CE,
∴四边形ACEF是平行四边形,
∴AC=EF=10=AB.
∵CE=BE,AE=AE,
∴△AEC≌△AEB(SSS),
∴∠EAB=∠CAE=90°,
∴∠CAE+∠EAB=180°,
∴C,A,B三点共线.
(3)25/3 解析:如图③,连接AC,CE.由(2)知C,A,B三点共线，
∵AC=EF=10,AC//EF,
∴∠ACG=∠GFE.
∵∠AGC=∠EGF,
∴△ACG≌△EFG(AAS),
∴AG=EG=1/2 AE=3.
∵S△CEH=1/2 EH·AC = 1/2 CH·EF',EF'=AC=10,
∴EH=CH.
∵CF'=AE=6,
∴F'H=AH,设AH=a,
∴CH=a + 6.
∵CH²=AH² + AC²,
∴(a + 6)²=a² + 10²,
∴a = 16/3,
∴GH=AH+AG = 16/3 + 3 = 25/3.
