4. (2025·无锡期中)2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱.某厂家生产A,B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的批发单价比B款吉祥物的批发单价高20元.若花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同.
(1)A,B两款“巳升升”吉祥物的批发单价分别是多少元？
(2)某网店从该厂家处批发购进了A,B两款的“巳升升”吉祥物共60个，A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，B款吉祥物售价为80元/个，A款吉祥物的售价比B款吉祥物的售价高30%.若购进的这两款吉祥物全部售出，且要使得该网店所获利润最多，则该网店购进A款吉祥物多少个？最大利润是多少？
答案：4. (1) 设 $ A $ 款“巳升升”吉祥物的批发单价为 $ x $ 元，则 $ B $ 款“巳升升”吉祥物的批发单价为 $ (x - 20) $ 元，由题意得，$ \frac{800}{x} = \frac{600}{x - 20} $，解得 $ x = 80 $，经检验，$ x = 80 $ 是原方程的解，且符合题意，$ \therefore x - 20 = 60 $。答：$ A $ 款“巳升升”吉祥物的批发单价为 80 元，$ B $ 款“巳升升”吉祥物的批发单价为 60 元。
(2) 由题意得，$ A $ 款售价为 $ 80 × (1 + 30\%) = 104 $（元/个），设购进 $ A $ 款“巳升升”$ m $ 个，则购进 $ B $ 款“巳升升”$ (60 - m) $ 个，$ \because A $ 款吉祥物的数量不超过 $ B $ 款吉祥物数量的一半，$ \therefore m ≤ \frac{1}{2}(60 - m) $，$ \therefore m ≤ 20 $。设利润为 $ W $ 元，则 $ W = (104 - 80)m + (80 - 60)(60 - m) = 4m + 1200 $，$ \because 4 ＞ 0 $，$ \therefore W $ 随着 $ m $ 的增大而增大，$ \therefore $ 当 $ m = 20 $ 时，$ W $ 有最大值，最大值为 $ 4 × 20 + 1200 = 1280 $。答：购进 $ A $ 款“巳升升”吉祥物 20 个时，获得最大利润，最大利润为 1280 元。
5. 在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A,B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管.老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个A分子模型与1个B分子模型，制作一个A分子模型需要的小球、塑料管数量比为5:4，制作一个B分子模型需要的小球、塑料管数量比为6:5，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半.
(1)制作一个A,B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？
(2)李老师说道：“上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80.今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：‘每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根.’我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个A分子模型和一个B分子模型为一套，至少需要制作65套才够用.”要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？(要求：根据题意列出方程、不等式解决问题)
答案：5. (1) 设制作一个 $ A $ 分子模型需要小球 $ 5x $ 个，塑料管 $ 4x $ 根，制作一个 $ B $ 分子模型需要小球 $ 6y $ 个，塑料管 $ 5y $ 根，由题意，得 $ \begin{cases} 2 × 5x + 6y = 32 \\ 2 × 4x + 5y = 26 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases} $。答：制作一个 $ A $ 分子模型需要小球 10 个，塑料管 8 根，制作一个 $ B $ 分子模型需要小球 12 个，塑料管 10 根。
(2) 设塑料管的单价是 $ a $ 元/根，小球的单价是 $ 2a $ 元/个，根据题意得 $ \frac{320}{2a} + 80 = \frac{200}{a} $，解得 $ a = 0.5 $。经检验：$ a = 0.5 $ 是原方程的解，且符合题意。$ \therefore $ 塑料管的单价是 0.5 元/根，小球的单价是 1 元/个。设采购材料能制作出 $ m $ 套模型，需要用去 $ 22m $ 个小球，$ 18m $ 根塑料管。根据促销活动内容，每购买 3 个小球赠送 1 根塑料管，得 $ 0.5 × (18m - \frac{22m}{3}) + 22m × 1 ≤ 2050 $，解得 $ m ≤ 75 $。由题得 $ 22m ≤ 1760 $，$ 18m ≤ 1404 $，解得 $ m ≤ 80 $，$ m ≤ 78 $。$ \because $ 至少需要制作 65 套才够用，$ \therefore m ≥ 65 $。综上，$ 65 ≤ m ≤ 75 $。$ \because $ 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，$ \therefore \frac{22m}{3} $ 是整数且 $ m $ 是正整数，$ \therefore \frac{m}{3} $ 是正整数，$ \therefore m = 66, 69, 72, 75 $，$ \therefore $ 共有四种采购方案。
