1. (2025·广州中考)计算$\sqrt{12}×\sqrt{3}$的结果是(
B
)
A.3
B.6
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{6}$
答案：1. B 解析：$\sqrt{12}×\sqrt{3}=\sqrt{36}=6$. 故选 B.
2. (2024·包头中考)计算$\sqrt{9^{2}-6^{2}}$所得结果是(
C
)
A.3
B.$\sqrt{6}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$\pm3\sqrt{5}$
答案：2. C 解析：$\sqrt{9^{2}-6^{2}}=\sqrt{45}=\sqrt{9}×\sqrt{5}=3\sqrt{5}$. 故选 C.
3. 下列变形正确的是(
C
)
A.$\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{2×6}=3\sqrt{2}$
B.$\sqrt{4.9}=\sqrt{0.7}×\sqrt{0.7}=0.7$
C.$\sqrt{a^{3}}=\sqrt{a^{2}· a}=\sqrt{a^{2}}·\sqrt{a}=a\sqrt{a}$
D.$(a - 2)\sqrt{\frac{1}{2 - a}}=\sqrt{\frac{(a - 2)^{2}}{2 - a}}=\sqrt{2 - a}$
答案：3. C 解析：A. $\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{2×6}=2\sqrt{3}$，原式变形错误；B. $\sqrt{4.9}≠\sqrt{0.7}×\sqrt{0.7}$，原式变形错误；C. 由式子可得$a≥0$，原式变形正确；D. 由式子可得$2 - a ＞ 0$，则$(a - 2)·\sqrt{\frac{1}{2 - a}} = - (2 - a)\sqrt{\frac{1}{2 - a}} = -\sqrt{\frac{(2 - a)^{2}}{2 - a}} = -\sqrt{2 - a}$，原式变形错误. 故选 C.
技法点拨 在进行根号内外的因式互移时要注意因式的正负情况，需将因式变形为非负数后再进行因式互移.
①如在$a\sqrt{-\frac{1}{a}}$中，可得$a ＜ 0$，要将$a$移至根号内，则需将$a$变形为$-(-a)$，后将非负数$(-a)$移至根号内：$a\sqrt{-\frac{1}{a}}=-(-a)\sqrt{-\frac{1}{a}}=-\sqrt{\frac{(-a)^{2}}{-a}}=-\sqrt{-a}$.
②如在$\sqrt{m^{3}n^{2}}$中，已知$m ＞ 0$，$n ＜ 0$，要化简该二次根式，则需将$n$变形为$-(-n)$后化简根式：$\sqrt{m^{3}n^{2}}=\sqrt{m^{3}(-n)^{2}}=\sqrt{m^{2}(-n)^{2}}·\sqrt{m}=-mn\sqrt{m}$.
4. 化简：
(1)(桂林中考改编)$\sqrt{12}=$
$2\sqrt{3}$
；
(2)$\sqrt{121×0.81}=$
$9.9$
；
(3)$\sqrt{12×27}=$
$18$
。
答案：4. (1)$2\sqrt{3}$ 解析：原式$=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
(2)$9.9$ 解析：原式$=\sqrt{121}×\sqrt{0.81}=11×0.9=9.9$.
(3)$18$ 解析：原式$=\sqrt{3}×\sqrt{4}×\sqrt{3}×\sqrt{9}=3×2×3=18$.
5. 计算：
(1)$\sqrt{\frac{2}{5}}×\sqrt{30}=$
$2\sqrt{3}$
；
(2)(杭州中考改编)$\sqrt{2m}·\sqrt{3m}(m≥0)=$
$\sqrt{6}m$
；
(
3)$\sqrt{-
2a}·\sqrt{-8a}(a＜0)=$
$-4a$
。
答案：5. (1)$2\sqrt{3}$ 解析：原式$=\sqrt{\frac{2}{5}×30}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
(2)$\sqrt{6}m$ 解析：原式$=\sqrt{2}·\sqrt{m}·\sqrt{3}·\sqrt{m}=\sqrt{6}m$.
(3)$-4a$ 解析：原式$=\sqrt{16a^{2}}=|4a|=-4a$.
6. 教材变式 化简：
(1)$\sqrt{200}$；
(2)$\sqrt{0.001×1.6}$；
(3)$\sqrt{12a^{2}b^{3}}(a≥0,b≥0)$；
(4)$\sqrt{16x^{3}+8x^{2}y}(x≥0,y≥0)$。
答案：6. (1)原式$=\sqrt{100}×\sqrt{2}=10\sqrt{2}$.
(2)原式$=\sqrt{0.01}×\sqrt{0.16}=0.1×0.4=0.04$.
(3)原式$=\sqrt{4a^{2}b^{2}}·\sqrt{3b}=2ab\sqrt{3b}$.
(4)原式$=\sqrt{4x^{2}}·\sqrt{4x + 2y}=2x\sqrt{4x + 2y}$.
7. 比较下面各组中两个数的大小：
(1)$4\sqrt{2}$与$3\sqrt{3}$；
(2)$-2\sqrt{3}$与$-3\sqrt{2}$。
答案：7. 方法一：(1)$∵4\sqrt{2}=\sqrt{4^{2}}×\sqrt{2}=\sqrt{4^{2}×2}=\sqrt{32}$，$3\sqrt{3}=\sqrt{3^{2}}×\sqrt{3}=\sqrt{3^{2}×3}=\sqrt{27}$，且$32 ＞ 27$，$∴\sqrt{32} ＞ \sqrt{27}$，即$4\sqrt{2} ＞ 3\sqrt{3}$.
(2)$∵2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}}×\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}×3}=\sqrt{12}$，$3\sqrt{2}=\sqrt{3^{2}}×\sqrt{2}=\sqrt{3^{2}×2}=\sqrt{18}$，且$12 ＜ 18$，$∴\sqrt{12} ＜ \sqrt{18}$，$∴-2\sqrt{3} ＞ -3\sqrt{2}$.
方法二：(1)$∵(4\sqrt{2})^{2}=4^{2}×(\sqrt{2})^{2}=16×2=32$，$(3\sqrt{3})^{2}=3^{2}×(\sqrt{3})^{2}=9×3=27$，且$32 ＞ 27$，$∴4\sqrt{2} ＞ 3\sqrt{3}$.
(2)$∵(2\sqrt{3})^{2}=2^{2}×(\sqrt{3})^{2}=4×3=12$，$(3\sqrt{2})^{2}=3^{2}×(\sqrt{2})^{2}=9×2=18$，且$12 ＜ 18$，$∴2\sqrt{3} ＜ 3\sqrt{2}$，$∴-2\sqrt{3} ＞ -3\sqrt{2}$.
8. 如果非零实数$a,b$满足$\sqrt{a^{2}b^{3}}=-ab\sqrt{b}$，那么点$(a,b)$在(
B
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：8. B 解析：$∵\sqrt{a^{2}b^{3}}=-ab\sqrt{b}$，$∴ab ＜ 0$. 又$∵a^{2}b^{3} ＞ 0$，且$a^{2} ＞ 0$，$∴b^{3} ＞ 0$，即$b ＞ 0$，$∴a ＜ 0$，$∴$点$(a,b)$在第二象限，故选 B.
9. 设$\sqrt{2}=a,\sqrt{3}=b$，用含$a,b$的式子表示$\sqrt{54}$，则下列表示正确的是(
C
)
A.$ab$
B.$a^{2}b^{2}$
C.$ab^{3}$
D.$a^{2}b^{3}$
答案：9. C 解析：$ab=\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，故 A 选项错误；$a^{2}b^{2}=2×3=6$，故 B 选项错误；$ab^{3}=\sqrt{2}×(\sqrt{3})^{3}=\sqrt{54}$，故 C 选项正确；$a^{2}b^{3}=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，故 D 选项错误. 故选 C.
10. (2024·盐城中考改编)矩形相邻两边长分别为$2\sqrt{2}cm,\sqrt{5}cm$，设其面积为$Scm^{2}$，则$S$在两个连续整数之间，这两个连续整数是(
C
)
A.4和5
B.5和6
C.6和7
D.7和8
答案：10. C 解析：$S=2\sqrt{2}×\sqrt{5}=2\sqrt{10}(cm^{2})$，$∵(2\sqrt{10})^{2}=40$，且$36 ＜ 40 ＜ 49$，$∴\sqrt{36} ＜ 2\sqrt{10} ＜ \sqrt{49}$，$∴6 ＜ 2\sqrt{10} ＜ 7$，即$S$在$6$和$7$之间. 故选 C.
