1. 【生活观察】人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度.
(1) 若 $ a $ 克糖水中含 $ b $ 克糖 $ (a ＞ b ＞ 0) $，则该糖水的甜度为 $ \frac{b}{a} $，若再加入 $ m $ 克 $ (m ＞ 0) $ 糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，由此我们可以得到一个不等式
$\frac{b + m}{a + m} ＞ \frac{b}{a}$
；(用含 $ a,b,m $ 的式子表示)请用分式的相关知识验证所得不等式.
【数学思考】(2) 若 $ b ＞ a ＞ 0,m ＞ 0 $，则 (1) 中的不等式是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的式子并证明.
【知识迁移】(3) 在 $ △ ABC $ 中，三条边的长度分别为 $ a,b,c $，证明：$ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} ＜ 2 $.
答案：1. (1) $\frac{b + m}{a + m} ＞ \frac{b}{a}$
验证如下：$\because \frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} = \frac{ab + am}{a(a + m)} - \frac{ab + bm}{a(a + m)} = \frac{m(a - b)}{a(a + m)}$，且 $a ＞ b ＞ 0$，$m ＞ 0$，$\therefore a - b ＞ 0$，$m(a - b) ＞ 0$，$a(a + m) ＞ 0$，$\therefore \frac{m(a - b)}{a(a + m)} ＞ 0$，$\therefore \frac{b + m}{a + m} ＞ \frac{b}{a}$。
解析：再加入 $m$ 克$(m ＞ 0)$糖，此时糖水的甜度为 $\frac{b + m}{a + m}$，由题意可得 $\frac{b + m}{a + m} ＞ \frac{b}{a}$。
(2)(1)中的不等式不成立，正确式子为 $\frac{b + m}{a + m} ＜ \frac{b}{a}$，证明如下：$\because \frac{b + m}{a + m} - \frac{b}{a} = \frac{ab + am}{a(a + m)} - \frac{ab + bm}{a(a + m)} = \frac{m(a - b)}{a(a + m)}$，且 $b ＞ a ＞ 0$，$m ＞ 0$，$\therefore a - b ＜ 0$，$m(a - b) ＜ 0$，$a(a + m) ＞ 0$，$\therefore \frac{m(a - b)}{a(a + m)} ＜ 0$，$\therefore \frac{b + m}{a + m} ＜ \frac{b}{a}$。
(3)在 $△ ABC$ 中，$a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$，$c + a ＞ b$，且 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$c ＞ 0$，$\therefore \frac{a}{b + c} ＜ 1$，$\frac{b}{c + a} ＜ 1$，$\frac{c}{a + b} ＜ 1$。
由(1)中结论得，$\frac{a}{b + c} ＜ \frac{a + a}{b + c + a}$，$\frac{b}{c + a} ＜ \frac{b + b}{c + a + b}$，$\frac{c}{a + b} ＜ \frac{c + c}{a + b + c}$，$\therefore \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} ＜ \frac{a + a}{b + c + a} + \frac{b + b}{c + a + b} + \frac{c + c}{a + b + c} = 2$，$\therefore \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} ＜ 2$。
2. 科学课上，三位同学分别按老师要求配制浓度相等的氯化钠
溶液，记录所需的氯化钠(溶
质)和水(溶剂)的质
量(单位：g)，并填入实验数据表格. $ ( 溶液浓度 = \frac{溶质质量}{溶剂质量 + 溶质质量} × 100\% ) $
(1) 若 $ a = 1,b = 3,d = 4.5,e = 2 $，则 $ c $ 的值为
$1.5$
，$ f $ 的值为
$6$
；
(2) 最后，老师将三位同学的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变. 请你用数学的知识证明该结论，即已知 $ \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} = \frac{e}{e + f} = x $，其中 $ a,b,c,d,e,f $ 均为正数，求证：$ \frac{a + c + e}{a + b + c + d + e + f} = x $.
答案：2. (1) $1.5$ $6$ 解析：$\because$ 同学甲、乙、丙要配制浓度相等的溶液，$\therefore \frac{1}{1 + 3} = \frac{c}{c + 4.5} = \frac{2}{2 + f}$，解得 $c = 1.5$，$f = 6$，检验：当 $c = 1.5$时，$c + 4.5 ≠ 0$，当 $f = 6$时，$2 + f ≠ 0$，$\therefore c = 1.5$，$f = 6$。
(2) $\because \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} = \frac{e}{e + f} = x$，$\therefore a = (a + b)x$，$c = (c + d)x$，$e = (e + f)x$。当三瓶氯化钠溶液混合后，浓度为 $\frac{a + c + e}{a + b + c + d + e + f} = \frac{(a + b)x + (c + d)x + (e + f)x}{a + b + c + d + e + f} = \frac{(a + b + c + d + e + f)x}{a + b + c + d + e + f} = x$，$\therefore$ 三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变。
