10. 在平面直角坐标系中，若干个整数点按如图所示的方式排列，坐标分别为 $ (1,0) $，$ (2,0) $，$ (2,1) $，$ (3,2) $，$ (3,1) $，$ (3,0) $，$ (4,0) $，…。根据这个规律，第 100 个点的坐标为(
A
)
A.$ (14,8) $
B.$ (13,0) $
C.$ (100,99) $
D.$ (15,14) $
答案：10.A
解析：
观察点的排列规律：横坐标为$ n $时，点的个数为$ n $个，且纵坐标从$ 0 $到$ n-1 $或从$ n-1 $到$ 0 $交替排列。
设横坐标为$ k $时，前$ k $个横坐标的点的总数为$ S_k = 1 + 2 + 3 + ··· + k = \frac{k(k+1)}{2} $。
令$ \frac{k(k+1)}{2} \leq 100 $，解得$ k \approx 13.65 $，取$ k=13 $。
此时$ S_{13} = \frac{13 × 14}{2} = 91 $，即前13个横坐标共有91个点。
第100个点在横坐标为14的点中，位置为$ 100 - 91 = 9 $。
因横坐标为偶数时，纵坐标从$ 0 $到$ n-1 $排列，故第9个点的纵坐标为$ 8 $。
第100个点的坐标为$ (14,8) $。
A
11. 在平面直角坐标系中，若点 $ P(4 - m,3m) $ 在 $ y $ 轴上，则点 $ P $ 的坐标为
(0,12)
。
答案：11.(0,12)
解析：
因为点$P(4 - m,3m)$在$y$轴上，所以点$P$的横坐标为$0$，即$4 - m = 0$，解得$m = 4$。将$m = 4$代入纵坐标$3m$，得$3×4 = 12$，所以点$P$的坐标为$(0,12)$。
12. 已知点 $ M(a - 3,2) $，现在将平面直角坐标系先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，此时点 $ M $ 的坐标为 $ (2,b - 1) $，则 $ a + b $ 的值为
11
。
答案：12.11
解析：
将平面直角坐标系先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，相当于点M向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度。
点M(a-3,2)向右平移1个单位长度，横坐标变为(a-3)+1=a-2；向上平移4个单位长度，纵坐标变为2+4=6。
此时点M的坐标为(a-2,6)，已知平移后坐标为(2,b-1)，则：
a-2=2，解得a=4；
6=b-1，解得b=7。
所以a+b=4+7=11。
11
13. 如图所示为中国象棋棋盘的一部分，建立平面直角坐标系。已知“车”所在位置的坐标为 $ (-2,2) $，则“炮”所在位置的坐标为
(3,1)
。
答案：13.(3,1)
14. 如图，在平面直角坐标系中，三角形 $ AOB $ 的顶点 $ A $ 的坐标为 $ (1,2) $，点 $ B $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，将三角形 $ AOB $ 沿 $ x $ 轴正方向平移后得到三角形 $ CDE $，点 $ A $ 的对应点为 $ C $。若 $ OE = 9 $，$ BD = 1 $，则点 $ C $ 的坐标为
(5,2)
。
答案：14.(5,2)
解析：
解：设平移距离为$a$，则点$O(0,0)$平移后对应点$D(a,0)$，点$B$平移后对应点$E$。
因为$BD = 1$，设$B(b,0)$，则$D(a,0)$，$E(b + a,0)$，且$|b - a|=1$。
又因为$OE = 9$，所以$b + a=9$。
由于三角形沿$x$轴正方向平移，$b ＞ a$，则$b - a=1$。
联立$\begin{cases}b + a=9\\b - a=1\end{cases}$，解得$a = 4$。
点$A(1,2)$平移后得$C(1 + 4,2)=(5,2)$。
(5,2)
15. 在平面直角坐标系中，$ O $ 为坐标原点，点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (-1,0) $，$ (-3,-4) $。若 $ BC // OA $，且 $ BC = 4AO $，则点 $ C $ 的坐标为
(1,−4)或(−7,−4)
。
答案：15.(1,−4)或(−7,−4)
解析：
解：
∵点$A(-1,0)$，$O$为坐标原点，
∴$AO=|-1-0|=1$，$OA$在$x$轴上。
∵$BC// OA$，
∴点$B$与点$C$的纵坐标相同。
∵点$B(-3,-4)$，
∴设点$C$的坐标为$(x,-4)$。
∵$BC=4AO=4×1=4$，
∴$|x-(-3)|=4$，即$|x+3|=4$。
当$x+3=4$时，$x=1$；
当$x+3=-4$时，$x=-7$。
∴点$C$的坐标为$(1,-4)$或$(-7,-4)$。
16. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 $ P $ 到 $ x $ 轴、$ y $ 轴距离的较小值为点 $ P $ 的“短距”；若点 $ Q $ 到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等，则称 $ Q $ 为“完美点”。若 $ C(9 - 2b,-5) $ 是“完美点”，则点 $ D(-6,2b - 1) $ 的“短距”为
3或6
。
答案：16.3或6
解析：
因为点$ C(9 - 2b,-5) $是“完美点”，所以点$ C $到$ x $轴、$ y $轴的距离相等。
点$ C $到$ x $轴的距离为$ |-5| = 5 $，到$ y $轴的距离为$ |9 - 2b| $，则$ |9 - 2b| = 5 $。
当$ 9 - 2b = 5 $时，$ -2b = 5 - 9 $，$ -2b = -4 $，解得$ b = 2 $。
此时点$ D(-6,2b - 1) $的坐标为$ (-6,2×2 - 1) = (-6,3) $。
点$ D $到$ x $轴的距离为$ |3| = 3 $，到$ y $轴的距离为$ |-6| = 6 $，较小值为$ 3 $，即“短距”为$ 3 $。
当$ 9 - 2b = -5 $时，$ -2b = -5 - 9 $，$ -2b = -14 $，解得$ b = 7 $。
此时点$ D(-6,2b - 1) $的坐标为$ (-6,2×7 - 1) = (-6,13) $。
点$ D $到$ x $轴的距离为$ |13| = 13 $，到$ y $轴的距离为$ |-6| = 6 $，较小值为$ 6 $，即“短距”为$ 6 $。
综上，点$ D $的“短距”为$ 3 $或$ 6 $。
3或6
17. （8 分）已知点 $ P(3m - 6,m + 1) $，试分别根据下列条件求出点 $ P $ 的坐标。
（1）点 $ P $ 在 $ y $ 轴上；
（2）点 $ P $ 在 $ x $ 轴上；
（3）点 $ P $ 的纵坐标比横坐标大 5；
（4）点 $ P $ 在过点 $ A(-1,2) $，且与 $ x $ 轴平行的直线上。
答案：17.(1)
∵点P在y轴上，
∴3m - 6 = 0，解得m = 2.
∴m + 1 = 3.
∴点P的坐标为(0,3)。(2)
∵点P在x轴上，
∴m + 1 = 0，解得m = -1.
∴3m - 6 = -9.
∴点P的坐标为(-9,0)。(3)
∵点P的纵坐标比横坐标大5，
∴m + 1 - (3m - 6) = 5，解得m = 1.
∴3m - 6 = -3，m + 1 = 2.
∴点P的坐标为(-3,2)。(4)
∵点P在过点A(-1,2)，且与x轴平行的直线上，
∴点P的纵坐标为2.
∴m + 1 = 2，解得m = 1.
∴3m - 6 = -3.
∴点P的坐标为(-3,2)。
