8. 已知$\begin{cases}x = 3,\\y = 1\end{cases}$是方程$ax + by = 10$的解，$a$，$b$是正整数，则$a + b$的最大值是( )
A.$3$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
答案：8. D
解析：
将$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$代入方程$ax + by = 10$，得$3a + b = 10$，则$b = 10 - 3a$。
因为$a$，$b$是正整数，所以$\begin{cases}a\geq1\\b = 10 - 3a\geq1\end{cases}$，即$10 - 3a\geq1$，解得$a\leq3$。
当$a = 1$时，$b = 10 - 3×1 = 7$，$a + b = 1 + 7 = 8$；
当$a = 2$时，$b = 10 - 3×2 = 4$，$a + b = 2 + 4 = 6$；
当$a = 3$时，$b = 10 - 3×3 = 1$，$a + b = 3 + 1 = 4$。
比较可得$a + b$的最大值是$8$。
D
9. (易错题)已知关于$x$，$y$的方程$2x^{\vert m\vert}+(1 - m)y = - 2$是二元一次方程，则$m$的值为
-1
.
答案：9. -1 [易错分析]忽视二元一次方程定义的隐含条件致错.
解析：
因为方程$2x^{\vert m\vert}+(1 - m)y = - 2$是二元一次方程，所以$\vert m\vert=1$且$1 - m\neq0$。
由$\vert m\vert=1$，得$m=\pm1$。
由$1 - m\neq0$，得$m\neq1$。
综上，$m=-1$。
-1
10. 某旅店一共有$70$个房间，每个大房间住$8$人，每个小房间住$6$人，一共$480$人刚好住满. 设大房间有$x$个，小房间有$y$个，则可列方程组为
.
答案：10.$\begin{cases}x + y = 70,\\8x + 6y = 480\end{cases}$
11. (教材 P90 习题 10.1 第 4 题变式)《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问：人数、物价各几何？”大意如下：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱. 问：人数、物价各多少？设有$x$人，物价为$y$钱，则可列方程组为
.
答案：11.$\begin{cases}8x - y = 3,\\y - 7x = 4\end{cases}$
12. 若$\begin{cases}x = - 2,\\y = 3\end{cases}$是方程$3x - 3y = m$和$5x + y = n$的公共解，则$m^2 - 3n$的值为 ______ .
答案：12. 246
解析：
将$x = -2$，$y = 3$代入$3x - 3y = m$，得$3×(-2)-3×3=m$，即$-6 - 9 = m$，解得$m=-15$。
将$x = -2$，$y = 3$代入$5x + y = n$，得$5×(-2)+3=n$，即$-10 + 3 = n$，解得$n=-7$。
则$m^2 - 3n=(-15)^2-3×(-7)=225 + 21=246$。
246
13. 已知二元一次方程$3x + y = 13$有无数个解，试探讨它的非负整数解有哪些.
答案：13. 二元一次方程3x + y = 13的非负整数解为$\begin{cases}x = 0,\\y = 13,\end{cases}\begin{cases}x = 1,\\y = 10,\end{cases}$
$\begin{cases}x = 2,\\y = 7,\end{cases}\begin{cases}x = 3,\\y = 4,\end{cases}\begin{cases}x = 4,\\y = 1\end{cases}$
14. 已知$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x + (m - 1)y = 2,\\nx + y = 1\end{cases}$的解，求$(m + n)^{2025}$的值.
答案：14.
∵$\begin{cases}x = 2,\\y = 1\end{cases}$是关于x，y的二元一次方程组$\begin{cases}2x + (m - 1)y = 2,\\nx + y = 1\end{cases}$的解，
∴$\begin{cases}2×2 + m - 1 = 2,\\2n + 1 = 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -1,\ = 0.\end{cases}$
∴$(m + n)^{2026} =$
$(-1 + 0)^{2026} = 1$
15. 已知关于$x$，$y$的二元一次方程$ax + 3y + b = 0$($a$，$b$均为常数，且$a \neq 0$).
(1) 当$a = 1$，$b = - 2$时，用含$x$的代数式表示$y$为
$y = \frac{2 - x}{3}$
.
(2) 若$\begin{cases}x = 2,\\y = - b\end{cases}$是该二元一次方程的一个解.
① 探索$a$与$b$的关系，并说明理由；
② 无论$a$，$b$取何值，这些方程都有一个公共解，请求出这个公共解.
答案：15.(1)$y = \frac{2 - x}{3}$ (2) ①a = b 理由：把$\begin{cases}x = 2,\\y = -b\end{cases}$代入关于x，y的二元一次方程ax + 3y + b = 0，得2a - 3b + b = 0.
∴a = b.
②由①，可知a = b，
∴原方程化为ax + 3y + a = 0.
∴a(x + 1) + 3y = 0.
∵无论a，b取何值，这些方程都有一个公共的解，
∴x + 1 = 0，3y = 0，解得x = -1，y = 0.
∴这个公共解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 0\end{cases}$
