19. 已知直线 $ AB // CD $，$ E $，$ F $ 分别为直线 $ AB $，$ CD $ 上的点，$ P $ 为直线 $ AB $ 上方一点。
（1）如图①，若 $ \angle AEP = 130^{\circ} $，$ \angle PFD = 80^{\circ} $，求 $ \angle EPF $ 的度数。
（2）如图②，$ \angle AEP $ 的平分线 $ EM $ 的反向延长线与 $ \angle PFD $ 的平分线交于点 $ N $，求证：$ \angle PEN + \angle EPF = \angle PFN + \angle ENF $（不能利用三角形的内角和）。
（3）如图③，$ \angle BEP $ 的平分线与 $ \angle DFP $ 的平分线交于点 $ H $，$ \angle EPF $ 的平分线与 $ \angle PFC $ 的平分线交于点 $ G $。若 $ PE // FH $，请求出 $ \angle EHF $ 与 $ \angle PGF $ 之间的数量关系。
答案：19.(1)如图①，过点P作$PQ// AB$，则$∠AEP+∠QPE=180°$.
∵$∠AEP=130°$，
∴$∠QPE=180°-∠AEP=50°$.
∵$AB// CD$，
∴$PQ// CD$.
∴$∠QPF=∠PFD=80°$.
∴$∠EPF=∠QPF-∠QPE=80°-50°=30°$
(2)如图②，过点P作$PQ// AB$，过点N作$NH// CD$.
∵$AB// CD$，
∴$PQ// CD// AB// NH$.
∴$∠AEP+∠QPE=180°$，$∠QPF=∠PFD$.
∵EM平分$∠AEP$，FN平分$∠PFD$，
∴可设$∠AEM=∠MEP=\alpha$，$∠PFN=∠NFD=\beta$.
∴易得$∠PEN+∠EPF=(180°-\alpha)+[2\beta-(180°-2\alpha)]=\alpha+2\beta$.
∵$AB// NH// CD$，
∴$∠AEM=∠ENH=\alpha$，$∠NFD=∠FNH=\beta$.
∴$∠ENF=∠ENH+∠FNH=\alpha+\beta$.
∴$∠PFN+∠ENF=\beta+(\alpha+\beta)=\alpha+2\beta$.
∴$∠PEN+∠EPF=∠PFN+∠ENF$
(3)如图③，过点P作$PQ// AB$，过点G作$GN// CD$.
∵$AB// CD$，
∴$PQ// CD// AB// NG$.
∵EH平分$∠BEP$，FH平分$∠DFP$，PG平分$∠EPF$，FG平分$∠PFC$，
∴可设$∠PEH=∠HEB=\alpha$，$∠PFH=∠HFD=\beta$，$∠EPG=∠GPF=x$，$∠PFG=∠GFC=y$，则$2\beta+2y=180°$.易得$2\beta=2x+2\alpha$，
∴$2x+2\alpha+2y=180°$.
∴$x+y=90°-\alpha$.易得$∠PGF=∠PGN+∠NGF=2\alpha+x+y=2\alpha+90°-\alpha=90°+\alpha$.当$PE// FH$时，$∠EHF=∠PEH=\alpha$，
∴$∠PGF-∠EHF=90°$
