8. 如图,观察图形,若要使 $ AD // BC $,则需添加的条件可以是(1)
∠ADF = ∠BCD
;(2)
∠ADB = ∠CBD
;(3)
∠DAC = ∠ACB
;(4)
∠ADC + ∠BCD = 180°
.
答案：8. 答案不唯一，如(1) ∠ADF = ∠BCD (2) ∠ADB = ∠CBD (3) ∠DAC = ∠ACB (4) ∠ADC + ∠BCD = 180°
解析：
(1) $\angle ADF = \angle BCD$；
(2) $\angle ADB = \angle CBD$；
(3) $\angle DAC = \angle ACB$；
(4) $\angle ADC + \angle BCD = 180°$
9. 如图,在三角形 $ ABC $ 中,$ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $,$ E $ 是 $ AC $ 上一点,且 $ ∠1 + ∠2 = 90° $. 试说明:$ DE // BC $.
$ ∵ CD ⊥ AB $(已知),
$ ∴ ∠1 + $
∠CDE
$ = 90° $(
垂直的定义
).
$ ∵ ∠1 + ∠2 = 90° $(已知),
$ ∴ $
∠CDE
$ = ∠2 $(
同角的余角相等
).
$ ∴ DE // BC $(
内错角相等，两直线平行
).
答案：9. ∠CDE 垂直的定义 ∠CDE 同角的余角相等 内错角相等，两直线平行
解析：
证明：
∵ $ CD ⊥ AB $（已知），
∴ $ \angle 1 + \angle CDE = 90° $（垂直的定义）。
∵ $ \angle 1 + \angle 2 = 90° $（已知），
∴ $ \angle CDE = \angle 2 $（同角的余角相等）。
∴ $ DE // BC $（内错角相等，两直线平行）。
10. 如图,$ ∠1 = 40° $,$ ∠2 = 55° $,$ ∠3 = 85° $,那么直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 平行吗? 为什么?
答案：10. 直线 l₁ 与 l₂ 平行
∵ ∠2 = 55°,
∴ ∠4 = 55°.
∵ ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180°,
∴ ∠5 = 180° - ∠3 - ∠4 = 180° - 85° - 55° = 40°.
∵ ∠1 = 40°,
∴ ∠1 = ∠5.
∴ l₁//l₂
11. 如图,$ ∠1 + ∠B = 180° $,$ ∠2 = ∠D $,则 $ AD $ 与 $ EF $ 平行吗? 为什么?
答案：11. AD//EF
∵ ∠1 + ∠B = 180°,
∴ EF//BC.
∵ ∠2 = ∠D,
∴ AD//BC.
∴ AD//EF
12. 如图,$ MF ⊥ NF $ 于点 $ F $,$ MF $ 交 $ AB $ 于点 $ E $,$ NF $ 交 $ CD $ 于点 $ G $,$ ∠1 = 140° $,$ ∠2 = 50° $. 试判断 $ AB $ 与 $ CD $ 的位置关系,并说明理由.
答案：12. AB//CD 理由：过点 F 向左作射线 FH，使 ∠EFH = ∠2 = 50°.
∴ AB//FH.
∵ MF⊥NF，
∴ ∠MFG = 90°.
∴ ∠HFG = 90° - ∠EFH = 40°. 又
∵ ∠1 = 140°,
∴ ∠1 + ∠HFG = 180°.
∴ FH//CD.
∴ AB//CD.
