新知梳理
1. 进行二次根式的混合运算时，一般需要综合运用二次根式的乘除法性质、分母有理化方法和整式运算的
法则
、
公式
和
运算律
.
2. 二次根式混合运算的顺序可以类比整式混合运算的顺序：先
乘方
，后
乘除
，再
加减
.
答案：1. 法则 公式 运算律 2. 乘方 乘除 加减
1. 计算$(\sqrt{27}-\sqrt{12})×\sqrt{\dfrac{1}{3}}$的结果是(
B
)
A.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B.$1$
C.$\sqrt{5}$
D.$3$
答案：1. B
解析：
$(\sqrt{27}-\sqrt{12})×\sqrt{\dfrac{1}{3}}$
$=(3\sqrt{3}-2\sqrt{3})×\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=\dfrac{3}{3}$
$=1$
B
2. 已知$a=\sqrt{5}-2$，$b=\sqrt{5}+2$，则$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$的值为(
A
)
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$4$
答案：2. A
解析：
已知$a = \sqrt{5} - 2$，$b=\sqrt{5} + 2$，则：
$a + b=(\sqrt{5}-2)+(\sqrt{5}+2)=2\sqrt{5}$
$ab=(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)=(\sqrt{5})^{2}-2^{2}=5 - 4=1$
$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=(2\sqrt{5})^{2}-2×1=20 - 2=18$
$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
A
3. 计算：
(1)$(2025· 天津)(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)=$
60
；
(2)$(-\sqrt{3}-\sqrt{7})^{2}=$
$10 + 2\sqrt{21}$
.
答案：3. (1) $60$ (2) $10 + 2\sqrt{21}$
解析：
(1) $(\sqrt{61}+1)(\sqrt{61}-1)=(\sqrt{61})^{2}-1^{2}=61 - 1=60$；
(2) $(-\sqrt{3}-\sqrt{7})^{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{7})^{2}=(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}×\sqrt{7}+(\sqrt{7})^{2}=3 + 2\sqrt{21}+7=10 + 2\sqrt{21}$
4. 如果一个矩形的长是$\sqrt{27}$m，宽是$\sqrt{12}$m，那么这个矩形的周长是
$10\sqrt{3}$
m.
答案：4. $10\sqrt{3}$
解析：
矩形周长为 $2×(\sqrt{27}+\sqrt{12})$，化简得 $2×(3\sqrt{3}+2\sqrt{3})=2×5\sqrt{3}=10\sqrt{3}$m。
5. 计算：
（1）$(2025· 甘肃)\sqrt{12}-\sqrt{6}×\dfrac{1}{\sqrt{2}}$；
（2）$(5+2\sqrt{6})(2\sqrt{6}-5)$；
（3）$(\sqrt{20}+\sqrt{5})÷\sqrt{5}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{12}$；
（4）$(\sqrt{10}-\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{10})-(\sqrt{2}-\sqrt{6})^{2}$.
答案：5. (1) $\sqrt{3}$ (2) $-1$ (3) $1$ (4) $-1 + 4\sqrt{3}$
解析：
（1）$\sqrt{12}-\sqrt{6}×\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
（2）$(5+2\sqrt{6})(2\sqrt{6}-5)=(2\sqrt{6})^{2}-5^{2}=24 - 25=-1$；
（3）$(\sqrt{20}+\sqrt{5})÷\sqrt{5}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{12}=(\sqrt{4}+1)-\sqrt{4}=2 + 1 - 2=1$；
（4）$(\sqrt{10}-\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{10})-(\sqrt{2}-\sqrt{6})^{2}=(\sqrt{10})^{2}-(\sqrt{3})^{2}-(2 - 2\sqrt{12}+6)=10 - 3 - (8 - 4\sqrt{3})=7 - 8 + 4\sqrt{3}=-1 + 4\sqrt{3}$
