22. （8分）如图，在梯形$ABCD$中，$AD // BC$，$DE ⊥ BC$，垂足为$E$，$BE = \frac{1}{2}(AD + BC)$。求证：$AB = DC$。
答案：22.如图，过点$D$作$DF// AB$，交$BC$于点$F$。$\because AD// BC$，$DF// AB$，$\therefore$四边形$ABFD$为平行四边形，$\therefore BF=AD$，$AB=DF$。
$\because BE=\frac{1}{2}(AD+BC)$，$BE=BF+EF$，$\therefore BF+EF=\frac{1}{2}(BF+BF+EF+EC)$，$\therefore EF=EC$。$\because DE⊥ BC$，$\therefore$直线$DE$垂直平分线段$FC$，$\therefore DF=DC$，$\therefore AB=DC$
23. （10分）如图，在矩形$ABCD$中，$E$是$AD$上一点，连接$BE$，$PQ$垂直平分$BE$，分别交$AD$，$BE$，$BC$于点$P$，$O$，$Q$，连接$BP$，$EQ$。
（1）求证：四边形$BPEQ$是菱形；
（2）若$AB = 6$，$F$为$AB$的中点，连接$OF$，$OF + OB = 9$，求$PQ$的长。
答案：23.(1)$\because PQ$垂直平分$BE$，$\therefore QB=QE$，$OB=OE$。$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AD// BC$，$\therefore\angle QBO=\angle PEO$。在$\triangle BOQ$和$\triangle EOP$中，$\begin{cases}\angle QBO=\angle PEO,\\OB=OE,\\\angle BOQ=\angle EOP,\end{cases}$
$\therefore\triangle BOQ\cong\triangle EOP(ASA)$，$\therefore QB=PE$。又$\because BC// AD$，即$QB// PE$，$\therefore$四边形$BPEQ$是平行四边形。又$\because QB=QE$，$\therefore$四边形$BPEQ$是菱形 (2)由(1)，得$OB=OE$，$\therefore BE=2OB$。$\because F$为$AB$的中点，$\therefore BF=FA$，$\therefore OF$为$\triangle BAE$的中位线，$\therefore AE=2OF$。$\because OF+OB=9$，$\therefore AE+BE=2OF+2OB=18$。设$AE=x$，则$BE=18 - x$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore\angle A=90^{\circ}$，$\therefore$在$Rt\triangle ABE$中，$6^{2}+x^{2}=(18 - x)^{2}$，解得$x=8$。$\therefore AE=8$，$BE=10$，$\therefore OB=\frac{1}{2}BE=5$。设$PE=y$，则$AP=8 - y$。由(1)，得四边形$BPEQ$是菱形，$\therefore BP=PE=y$，$PQ=2PO$，$\therefore$在$Rt\triangle ABP$中，$6^{2}+(8 - y)^{2}=y^{2}$，解得$y=\frac{25}{4}$。$\therefore BP=\frac{25}{4}$，$\therefore$在$Rt\triangle BOP$中，$PO=\sqrt{BP^{2}-OB^{2}}=\frac{15}{4}$，$\therefore PQ=2PO=\frac{15}{2}$
24. （12分）在正方形$ABCD$中，$E$是边$CD$上一点（点$E$不与点$C$，$D$重合），连接$BE$。
【感知】如图①，过点$A$作$AF ⊥ BE$，交$BC$于点$F$。易证$\triangle ABF \cong \triangle BCE$（不需要证明）。
【探究】如图②，取$BE$的中点$M$，过点$M$作$FG ⊥ BE$，交$BC$于点$F$，交$AD$于点$G$。
（1）求证：$GF = BE$。
（2）连接$CM$，若$CM = 1$，求$GF$的长。
【应用】
（3）如图③，取$BE$的中点$M$，连接$CM$，过点$C$作$CG ⊥ BE$，交$AD$于点$G$，连接$EG$，$MG$。若$CM = 3$，求四边形$GMCE$的面积。
答案：24.(1)过点$G$作$GP⊥ BC$于点$P$，则$\angle BPG=\angle FPG=90^{\circ}$。$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB=CB$，$\angle A=\angle ABC=\angle ECB=90^{\circ}$，$\therefore$四边形$ABPG$是矩形，$\angle FPG=\angle ECB$，$\therefore PG=AB$，$\therefore PG=CB$。$\because GP⊥ BC$，$FG⊥ BE$，$\therefore\angle PGF+\angle PFG=90^{\circ}$，$\angle CBE+\angle PFG=90^{\circ}$，$\therefore\angle PGF=\angle CBE$。在$\triangle PGF$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}\angle PGF=\angle CBE,\\PG=CB,\\\angle FPG=\angle ECB,\end{cases}$
$\therefore\triangle PGF\cong\triangle CBE(ASA)$，$\therefore GF=BE$ (2)由(1)，得$GF=BE$，$\angle ECB=90^{\circ}$。$\because$在$Rt\triangle BCE$中，$M$是$BE$的中点，$CM=1$，$\therefore BE=2CM=2$，$\therefore GF=2$ (3)$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore\angle ECB=90^{\circ}$。$\because$在$Rt\triangle BCE$中，$M$是$BE$的中点，$CM=3$，$\therefore BE=2ME=2CM=6$，$\therefore ME=3$。同(1)，得$CG=BE=6$。$\because CG⊥ BE$，$\therefore S_{四边形GMCE}=\frac{1}{2}CG· ME=\frac{1}{2}×6×3=9$
