19. （8分）如图，$P$，$Q$是方格纸中的两个格点，请按要求画出以$PQ$为对角线的格点四边形。
（1）在图①中画出一个面积最小的$□ PAQB$；
（2）在图②中画出一个四边形$PCQD$，使其是轴对称图形而不是中心对称图形，且另一条对角线$CD$由线段$PQ$以某一格点为旋转中心旋转得到。
答案：19.答案不唯一，如(1)如图①所示 (2)如图②所示
20. (8分)如图，在$\triangle ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$E$，$F$分别是$AC$，$AB$的中点，$O$是$DF$的中点，$EO$的延长线交线段$BD$于点$G$，连接$DE$，$EF$，$FG$。
(1)求证：四边形$DEFG$是平行四边形；
(2)当$AD = 5$，$\frac{AD}{CD} = \frac{5}{2}$时，$FG$的长为
$\frac{\sqrt{29}}{2}$
。
答案：20.(1)$\because E,F$分别是$AC,AB$的中点，$\therefore EF$是$\triangle ABC$的中位线，$\therefore EF// BC$，即$EF// GD$，$\therefore\angle EFO=\angle GDO$。$\because O$是$DF$的中点，$\therefore OF=OD$。在$\triangle OEF$和$\triangle OGD$中，$\begin{cases}\angle EFO=\angle GDO,\\OF=OD,\\\angle EOF=\angle GOD,\end{cases}$
$\therefore\triangle OEF\cong\triangle OGD(ASA)$，$\therefore EF=GD$，$\therefore$四边形$DEFG$是平行四边形 (2)$\frac{\sqrt{29}}{2}$
21. （8分）如图，$AD$和$BC$相交于点$O$，$\angle ABO = \angle DCO = 90^{\circ}$，$OB = OC$，$E$，$F$分别是$AO$，$DO$的中点，连接$BE$，$BF$，$CE$，$CF$。
（1）求证：$OE = OF$；
（2）当$\angle A = 30^{\circ}$时，求证：四边形$BECF$是矩形。
答案：21.(1)在$\triangle AOB$和$\triangle DOC$中，$\begin{cases}OB=OC,\\\angle AOB=\angle DOC,\end{cases}$
$\triangle AOB\cong\triangle DOC(ASA)$，$\therefore AO=DO$。$\because E,F$分别是$AO,DO$的中点，$\therefore OE=\frac{1}{2}AO$，$OF=\frac{1}{2}DO$，$\therefore OE=OF$ (2)$\because OB=OC$，$OE=OF$，$\therefore$四边形$BECF$是平行四边形，$BC=2OB$，$EF=2OE$。$\because\angle ABO=90^{\circ}$，$E$是$AO$的中点，$\angle A=30^{\circ}$，$\therefore\angle AOB=60^{\circ}$，$BE=\frac{1}{2}AO=OE$，$\therefore\triangle BOE$为等边三角形，$\therefore OB=OE$，$\therefore BC=EF$，$\therefore$四边形$BECF$是矩形
