1. (2025·北京)若$\sqrt{3x - 3}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围是(
D
)
A.$x \neq 1$
B.$x ＞ 1$
C.$x ＜ 1$
D.$x \geq 1$
答案：1.D
解析：
要使$\sqrt{3x - 3}$在实数范围内有意义，则被开方数必须大于等于$0$，即：
$3x - 3 \geq 0$
解不等式：
$3x \geq 3$
$x \geq 1$
答案：D
2. 与$\sqrt{3^{2} - 2^{2} - 1^{2}}$结果相同的是(
A
)
A.$3 - 2 + 1$
B.$3 + 2 - 1$
C.$3 + 2 + 1$
D.$3 - 2 - 1$
答案：2.A
解析：
先计算原式：$\sqrt{3^{2} - 2^{2} - 1^{2}}=\sqrt{9 - 4 - 1}=\sqrt{4}=2$。
再计算各选项：
选项A：$3 - 2 + 1=2$；
选项B：$3 + 2 - 1=4$；
选项C：$3 + 2 + 1=6$；
选项D：$3 - 2 - 1=0$。
所以与原式结果相同的是选项A。
A
3. 下列化简正确的是(
A
)
A.$\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
B.$\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$-\sqrt{-x^{3}} = -x\sqrt{-x}$
D.$\sqrt{x^{2}} = x$
答案：3.A
解析：
A.$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，正确；
B.$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，错误；
C.$-\sqrt{-x^{3}}=x\sqrt{-x}$，错误；
D.$\sqrt{x^{2}}=\left|x\right|$，错误。
答案：A
4. 计算$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{12}} ÷ \sqrt{\frac{54}{12}} × \sqrt{\frac{3}{6}}$的结果是(
B
)
A.$\frac{\sqrt{3}}{12}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{12}{5}$
答案：4.B
解析：
$\begin{aligned}&\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{12}} ÷ \sqrt{\frac{54}{12}} × \sqrt{\frac{3}{6}}\\=&\frac{3}{2\sqrt{3}} ÷ \sqrt{\frac{9}{2}} × \sqrt{\frac{1}{2}}\\=&\frac{3}{2\sqrt{3}} ÷ \frac{3}{\sqrt{2}} × \frac{1}{\sqrt{2}}\\=&\frac{3}{2\sqrt{3}} × \frac{\sqrt{2}}{3} × \frac{1}{\sqrt{2}}\\=&\frac{3 × \sqrt{2} × 1}{2\sqrt{3} × 3 × \sqrt{2}}\\=&\frac{1}{2\sqrt{3}}\\=&\frac{\sqrt{3}}{6}\end{aligned}$
B
5. (2024·重庆 B 卷)估计$\sqrt{12} × (\sqrt{2} + \sqrt{3})$的值应在(
C
)
A.8 和 9 之间
B.9 和 10 之间
C.10 和 11 之间
D.11 和 12 之间
答案：5.C
解析：
$\begin{aligned}\sqrt{12} × (\sqrt{2} + \sqrt{3}) &= 2\sqrt{3} × \sqrt{2} + 2\sqrt{3} × \sqrt{3} \\&= 2\sqrt{6} + 2 × 3 \\&= 2\sqrt{6} + 6. \\\because \sqrt{6} &\approx 2.449, \\\therefore 2\sqrt{6} &\approx 4.898, \\\therefore 2\sqrt{6} + 6 &\approx 10.898. \\\because 10 ＜ 10.898 ＜ 11, \\\therefore \mathrm{值在10和11之间}.\end{aligned}$
C
6. 已知$2 ＜ a ＜ 4$，则化简$\sqrt{1 - 2a + a^{2}} + \sqrt{a^{2} - 8a + 16}$的结果是(
D
)
A.$2a - 5$
B.$5 - 2a$
C.$-3$
D.3
答案：6.D
解析：
$\sqrt{1 - 2a + a^{2}} + \sqrt{a^{2} - 8a + 16}$
$=\sqrt{(a - 1)^{2}} + \sqrt{(a - 4)^{2}}$
因为$2 ＜ a ＜ 4$，所以$a - 1 ＞ 0$，$a - 4 ＜ 0$
则原式$=(a - 1) + (4 - a)$
$=a - 1 + 4 - a$
$=3$
D
7. (1) 要使代数式$\sqrt{9 - 2x}$有意义，则$x$的取值范围是
x≤4.5
；
(2) (2025·齐齐哈尔)若代数式$\frac{x}{\sqrt{x - 3}} + (x - 2025)^{0}$有意义，则实数$x$的取值范围是
x＞3且x≠2025
.
答案：7.(1)x≤4.5
(2)x＞3且x≠2025
8. 当$a$
＞0
时，$\frac{\sqrt{a^{2}}}{a} = 1$；当$a$
＜0
时，$\frac{\sqrt{a^{2}}}{a} = -1$.
答案：8.＞0 ＜0
9. 若$y + 6 = \sqrt{x - \frac{1}{2}} + \sqrt{1 - 2x}$，则$xy$的值为
−3
.
答案：9.−3
解析：
要使根式有意义，则被开方数非负，即：
$\begin{cases}x - \frac{1}{2} \geq 0 \\1 - 2x \geq 0\end{cases}$
解第一个不等式：$x \geq \frac{1}{2}$；解第二个不等式：$x \leq \frac{1}{2}$，故$x = \frac{1}{2}$。
将$x = \frac{1}{2}$代入原式：$y + 6 = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} + \sqrt{1 - 2×\frac{1}{2}} = 0 + 0 = 0$，解得$y = -6$。
则$xy = \frac{1}{2} × (-6) = -3$。
$-3$
10. 已知$\sqrt{2a - b} + b^{2} + 5 + 2\sqrt{5}b = 0$，则$a + b$的值为
−$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
.
答案：10.−$\frac{3\sqrt{5}}{2}$
解析：
解：$\sqrt{2a - b} + b^{2} + 5 + 2\sqrt{5}b = 0$，
整理得$\sqrt{2a - b} + (b + \sqrt{5})^{2} = 0$，
因为$\sqrt{2a - b} \geq 0$，$(b + \sqrt{5})^{2} \geq 0$，
所以$\begin{cases}2a - b = 0 \\ b + \sqrt{5} = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b = -\sqrt{5} \\ a = -\frac{\sqrt{5}}{2}\end{cases}$，
则$a + b = -\frac{\sqrt{5}}{2} + (-\sqrt{5}) = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$。
$-\frac{3\sqrt{5}}{2}$
11. 把式子中根号外面的因式移到根号内：$3\sqrt{2} =$
$\sqrt{18}$
；$a\sqrt{-2a} =$
$-\sqrt{-2a^3}$
.
答案：11.$\sqrt{18}$ $-\sqrt{-2a^3}$
12. (1) (2025·宿迁改编)计算$(\sqrt{2})^{2} - 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} + |\sqrt{3} - 1|$的结果为
1
；
(2) 已知$a = 2 + \sqrt{3}$，$b = 2 - \sqrt{3}$，则$\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$的值为
8$\sqrt{3}$
.
答案：12.(1)1 (2)8$\sqrt{3}$
解析：
(1) $(\sqrt{2})^{2} - 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} + |\sqrt{3} - 1|$
$=2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1$
$=1$
(2) $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab} = \frac{(a + b)(a - b)}{ab}$
$a + b = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$
$a - b = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$
$ab = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$
$\frac{(a + b)(a - b)}{ab} = \frac{4×2\sqrt{3}}{1} = 8\sqrt{3}$
13. 已知菱形的周长为 8，两邻角的度数比为$1:2$，则菱形的面积为
2$\sqrt{3}$
.
答案：13.2$\sqrt{3}$
解析：
解：菱形周长为8，边长为$8÷4=2$。
两邻角比为$1:2$，设较小角为$\alpha$，则$\alpha + 2\alpha = 180°$，解得$\alpha = 60°$。
菱形面积$S = 边长× 边长× \sin\alpha = 2×2×\sin60° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
$2\sqrt{3}$
14. (新考法·阅读理解)(2024·南京)阅读材料：由$6 + 2\sqrt{5} = 5 + 1 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^{2} + 2 × \sqrt{5} × 1 + 1^{2} = (\sqrt{5} + 1)^{2}$，可知$6 + 2\sqrt{5}$的算术平方根是$\sqrt{5} + 1$. 类似地，$16 - 6\sqrt{7}$的算术平方根是
3−$\sqrt{7}$
.
答案：14.3−$\sqrt{7}$ 解析:16−6$\sqrt{7}$=9+7−6$\sqrt{7}$=3²−2×3×$\sqrt{7}$+($\sqrt{7}$)²=(3−$\sqrt{7}$)²,
∴16−6$\sqrt{7}$的算术平方根是3−$\sqrt{7}$
