26. (14分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，BC=10 cm，AD=8 cm.点P从点B出发，在线段BC上以3 cm/s的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线$m$从底边BC出发，以2 cm/s的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于点E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线$m$同时停止运动，设运动时间为$t(s)(t＞0)$.
(1) 当$t=2s$时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形.
(2) 在整个运动过程中，求当所形成的△PEF的面积最大时，线段BP的长.
(3) 是否存在某一时刻$t$，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻$t$的值；若不存在，请说明理由.
答案：26. (1) 证明：当$t = 2$时，$DH = AH = 4$，则H是AD的中点，如图①.
又$\because EF \perp AD$，$\therefore EF$为AD的垂直平分线，$\therefore AE = DE$，$AF = DF$。$\because AB = AC$，$AD \perp BC$，$\therefore \angle B = \angle C$。$\therefore EF // BC$，$\therefore \angle AEF = \angle B$，$\angle AFE = \angle C$，$\therefore \angle AEF = \angle AFE$，$\therefore AE = AF$，$\therefore AE = AF = DE = DF$，即四边形AEDF为菱形 (2) 如图②.
由(1)知$EF // BC$，$\therefore \triangle AEF \sim \triangle ABC$，$\therefore \frac{EF}{BC} = \frac{AH}{AD}$，即$\frac{EF}{10} = \frac{8 - 2t}{8}$，解得$EF = 10 - \frac{5}{2}t$。$S_{\triangle PEF} = \frac{1}{2}EF · DH = \frac{1}{2}(10 - \frac{5}{2}t) · 2t = -\frac{5}{2}(t - 2)^2 + 10$。$\therefore$当$t = 2s$时，$S_{\triangle PEF}$取最大值，最大值为10，此时$BP = 3t = 6(cm)$ (3) 存在。理由是：① 若点E为直角顶点，如图③，此时$PE // AD$，$PE = DH = 2t$，$BP = 3t$。$\because PE // AD$，$\therefore \frac{PE}{AD} = \frac{BP}{BD}$，即$\frac{2t}{8} = \frac{3t}{5}$，此比例式不成立，故此种情形不存在。② 若点F为直角顶点，如图④，此时$PE // AD$，$PF = DH = 2t$，$BP = 3t$，$CP = 10 - 3t$。$\because PF // AD$，$\therefore \frac{PF}{AD} = \frac{CP}{CD}$，即$\frac{2t}{8} = \frac{10 - 3t}{5}$，解得$t = \frac{40}{17}$ ③ 若点P为直角顶点，如图⑤。过点E作$EM \perp BC$，垂足为M，过点F作$FN \perp BC$，垂足为N，则$EM = FN = DH = 2t$，$EM // FN // AD$。$\because EM // AD$，$\therefore \frac{EM}{AD} = \frac{BM}{BD}$，即$\frac{2t}{8} = \frac{BM}{5}$，解得$BM = \frac{5}{4}t$，$\therefore PM = BP - BM = 3t - \frac{5}{4}t = \frac{7}{4}t$。在$Rt\triangle EMP$中，由勾股定理，得$PE^2 = EM^2 + PM^2 = (2t)^2 + (\frac{7}{4}t)^2 = \frac{113}{16}t^2$。$\because FN // AD$，$\therefore \frac{FN}{AD} = \frac{CN}{CD}$，即$\frac{2t}{8} = \frac{CN}{5}$，解得$CN = \frac{5}{4}t$，$\therefore PN = BC - BP - CN = 10 - 3t - \frac{5}{4}t = 10 - \frac{17}{4}t$。在$Rt\triangle FNP$中，由勾股定理，得$PF^2 = FN^2 + PN^2 = (2t)^2 + (10 - \frac{17}{4}t)^2 = \frac{353}{16}t^2 - 85t + 100$。在$Rt\triangle PEF$中，由勾股定理，得$EF^2 = PE^2 + PF^2$，即$(10 - \frac{5}{2}t)^2 = (\frac{113}{16}t^2) + (\frac{353}{16}t^2 - 85t + 100)$。化简，得$\frac{233}{8}t^2 - 35t = 0$，解得$t = \frac{280}{233}$或$t = 0$(舍去)。$\therefore t = \frac{280}{233}$。综上所述，当$t = \frac{40}{17}s$或$t = \frac{280}{233}s$时，$\triangle PEF$为直角三角形
