1. 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即
三条边和两个锐角
.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做
解直角三角形
.如果知道其中的
两
个元素(至少有一个是
边
)，就可以求出其余
三
个未知元素.
答案：1. 三条边和两个锐角 解直角三角形 两 边 三
2. 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C$为直角，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，那么除直角$\angle C$外的五个元素之间有如下关系：
(1)三边之间的关系：
$a^2 + b^2 = c^2$
(勾股定理)；
(2)两锐角之间的关系：
∠A + ∠B = 90°
；
(3)边角之间的关系：$\sin A =$
$\frac{a}{c}$
，$\cos A =$
$\frac{b}{c}$
，$\tan A =$
$\frac{a}{b}$
.
答案：2. (1) $a^2 + b^2 = c^2$ (2) ∠A + ∠B = 90° (3) $\frac{a}{c}$ $\frac{b}{c}$ $\frac{a}{b}$
解析：
(1) $a^2 + b^2 = c^2$
(2) $\angle A + \angle B = 90°$
(3) $\frac{a}{c}$，$\frac{b}{c}$，$\frac{a}{b}$
1. 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$AC$是斜边.若$AB = 3$，$\cos C=\frac{1}{2}$，则$AC$的长为 (
B
)
A.$3\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案：1. B
解析：
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$AC$是斜边，所以$\angle B=90°$。
因为$\cos C=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，设$BC=x$，则$AC=2x$。
由勾股定理得$AB^2 + BC^2 = AC^2$，已知$AB = 3$，所以$3^2 + x^2=(2x)^2$。
即$9 + x^2 = 4x^2$，$3x^2=9$，$x^2=3$，$x=\sqrt{3}$（$x＞0$）。
所以$AC=2x=2\sqrt{3}$。
B
2. 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$AB = 10$，$\tan B = \frac{1}{2}$，则$S_{\triangle ABC}$的值为 (
D
)
A.$30$
B.$40$
C.$10\sqrt{5}$
D.$20$
答案：2. D
解析：
在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$AB = 10$，$\tan B = \frac{1}{2}$。
设$AC = x$，$BC = 2x$（$x ＞ 0$）。
由勾股定理得$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$x^2 + (2x)^2 = 10^2$。
$x^2 + 4x^2 = 100$，$5x^2 = 100$，$x^2 = 20$，$x = 2\sqrt{5}$（负值舍去）。
$AC = 2\sqrt{5}$，$BC = 4\sqrt{5}$。
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × 4\sqrt{5} = 20$。
D
3. 在$\triangle ABC$中，$\angle A = 30°$，$\angle B = 45°$，$BC = \sqrt{2}$，则$AC$的长为
2
.
答案：3. 2
解析：
解：在$\triangle ABC$中，由正弦定理得$\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}$。
已知$\angle A = 30°$，$\angle B = 45°$，$BC = \sqrt{2}$，则$\sin A = \frac{1}{2}$，$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
所以$AC = \frac{BC · \sin B}{\sin A} = \frac{\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
2
4. 如图，四边形$ABCD$由两个直角三角形构成，$\angle C = \angle ADB = 90°$.已知$AD = CD$，$\tan \alpha = \frac{1}{2}$，则$\tan \beta =$
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
.
答案：4. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析：
解：设 $ CD = AD = x $，$ BC = m $。
在 $ Rt\triangle BCD $ 中，$ \tan\alpha = \frac{CD}{BC} = \frac{x}{m} = \frac{1}{2} $，则 $ m = 2x $，$ BD = \sqrt{CD^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}x $。
在 $ Rt\triangle ABD $ 中，$ \sin\angle ABD = \frac{AD}{BD} = \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5} $。
因为 $ \angle \beta = \angle ABD $，所以 $ \tan\beta = \frac{\sqrt{5}}{5} $。
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
5. （1）在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$\angle A = 60°$，$BC = 8$.求$AB$和$AC$的长.
（2）在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90°$，$a$，$b$，$c$分别为$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边，$a = \sqrt{6}$，$b = 3\sqrt{2}$.解这个直角三角形.
答案：5. (1) 在 Rt△ABC 中，
∵ ∠C = 90°，∠A = 60°，BC = 8，
∴ AB = $\frac{BC}{\sin 60°}$ = $\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ = $\frac{16\sqrt{3}}{3}$
∴ AC = AB · cos 60° = $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ × $\frac{1}{2}$ = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
∴ AB = $\frac{16\sqrt{3}}{3}$, AC = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ (2) 在 Rt△ABC 中，
∵ ∠C = 90°, a = $\sqrt{6}$, b = 3$\sqrt{2}$,
∴ tan A = $\frac{a}{b}$ = $\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴ ∠A = 30°
∴ c = 2a = 2$\sqrt{6}$, ∠B = 90° - ∠A = 60°
∴ c = 2$\sqrt{6}$, ∠A = 30°, ∠B = 60°
