在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，设$BC=k$，则$AC=2k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(2k)^{2}+k^{2}}=\sqrt{5}k$。
A.$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{k}{\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}\neq\frac{1}{2}$，故A错误；
B.$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\neq\frac{\sqrt{5}}{5}$，故B错误；
C.$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{2k}{\sqrt{5}k}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\neq\frac{\sqrt{5}}{5}$，故C错误；
D.$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2k}{k}=2$，故D正确。
D

解：因为$(\sin C - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos B)^{2} = 0$，且平方数具有非负性，所以$\sin C - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$，$\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos B = 0$。
由$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\angle C$为锐角，得$\angle C = 45^{\circ}$。
由$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\angle B$为锐角，得$\angle B = 30^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ}$。
B

在直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$AB = 12$米，$\angle BAC=\alpha$。
$\sin\alpha=\frac{BC}{AB}$
$BC = AB·\sin\alpha=12\sin\alpha$米
A

过点C作CD⊥AB于点D，设网格中每个小正方形的边长为1。
由勾股定理得：AB = √(3² + 3²) = 3√2，AC = √(1² + 2²) = √5，BC = √(2² + 1²) = √5。
∵AC = BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD = 1/2 AB = 3√2/2。
在Rt△ACD中，CD = √(AC² - AD²) = √[ (√5)² - (3√2/2)² ] = √(5 - 9/2) = √(1/2) = √2/2。
∴tan∠BAC = CD/AD = (√2/2)/(3√2/2) = 1/3。
答案：C

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$，设$BC=3k$，$AC=5k$，则$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(3k)^2}=4k$。
$D$，$E$分别为$AC$，$AB$的中点，$DE$是$\triangle ABC$的中位线，$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}k$。
$E$为$AB$中点，$BE=\frac{1}{2}AB=2k$。
$DE// BC$，$\angle BED+\angle ABC=180^{\circ}$，$\angle BED=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BDE$中，$\tan\angle BDE=\frac{BE}{DE}=\frac{2k}{\frac{3}{2}k}=\frac{4}{3}$。
答案：B

解：过点$O$作铅垂线，交小球最低位置时的球心于点$C$，交$AB$于点$D$。
$\because OA = OB = OC = 50$厘米，$\angle AOB = 40^{\circ}$，
$\therefore \angle AOD=\angle BOD = 20^{\circ}$。
在$Rt\triangle AOD$中，$\cos\angle AOD=\frac{OD}{OA}$，
$\therefore OD = OA·\cos20^{\circ}=50\cos20^{\circ}$厘米。
高度差$CD=OC - OD=50 - 50\cos20^{\circ}$厘米。
答案：D

解：
∵ $BD = 2CD = 6$，
∴ $CD = 3$，$BC = BD + CD = 9$。
∵ $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的高，
∴ $\angle ADC = 90°$。
在 $ Rt\triangle ADC$ 中，$\sin\angle DAC = \frac{CD}{AC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
又 $CD = 3$，
∴ $\frac{3}{AC} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，解得 $AC = 3\sqrt{5}$。
由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 3^2} = \sqrt{45 - 9} = \sqrt{36} = 6$。
在 $ Rt\triangle ABD$ 中，$BD = 6$，$AD = 6$，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$。
答案：D