2026年通城学典课时作业本九年级数学下册人教版南通专版第71页解析答案

6. (新情境·日常生活)如图，学生甲在凉亭 A 处测得湖心岛 C 在其南偏西$15^{\circ }$的方向上，又从 A 处向正东方向行驶 300 m 到达凉亭 B 处，测得湖心岛 C 在其南偏西$60^{\circ }$的方向上，则凉亭 B 与湖心岛 C 之间的距离为

$(150 + 150\sqrt{3})$

答案：6.$(150 + 150\sqrt{3})$

7. 如图，点 B 位于点 A 的北偏东$60^{\circ }$方向相距 2 km 处，点 D 在点 B 的正北方向，且在点 A 的东北方向，则点 D 到点 A 的距离为

$\sqrt{6}$

km.

答案：7.$\sqrt{6}$

解析：

过点$A$作$AE \perp BD$于点$E$。
在$ Rt\triangle ABE$中，$\angle BAE = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，$AB = 2\ km$，则$AE=AB·\cos30^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ km$。
在$ Rt\triangle ADE$中，$\angle DAE = 45^{\circ}$，$AE=\sqrt{3}\ km$，所以$AD=\frac{AE}{\cos45^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}\ km$。
$\sqrt{6}$

8. （2025·连云港）如图，港口 B 位于岛 A 的北偏西$37^{\circ }$方向，灯塔 C 在岛 A 的正东方向，$AC = 6$ km，一艘海轮 D 在岛 A 的正北方向，且 B，D，C 三点在一条直线上，$DC = \frac {5}{2}BD$.（参考数据：$\sin37^{\circ }≈\frac {3}{5}$，$\cos37^{\circ }≈\frac {4}{5}$，$\tan37^{\circ }≈\frac {3}{4}$）；

(1) 岛 A 与港口 B 之间的距离；
(2) tanC的值.

答案：

(1) 如图,过点 B 作 $ BM \perp AD $,垂足为 M. $ \because AC \perp AD $,

$ \therefore BM // AC $. $ \therefore \triangle BDM \backsim \triangle CDA $. $ \therefore \frac{BM}{CA} = \frac{BD}{CD} $. $ \because DC = \frac{5}{2}BD $, $ AC = 6 km $, $ \therefore BM = \frac{CA · BD}{CD} = \frac{12}{5} km $. 在 $ Rt \triangle ABM $ 中,由 $ \sin \angle BAD = \sin 37^{\circ} = \frac{BM}{AB} $,得 $ AB = \frac{BM}{\sin 37^{\circ}} \approx 4 km $. $ \therefore $ 岛 A 与港口 B 之间的距离约为 $ 4 km $.

(2) 在 $ Rt \triangle ABM $ 中, $ AM = AB × \cos 37^{\circ} \approx 4 × \frac{4}{5} = \frac{16}{5} ( km) $, $ \because \triangle BDM \backsim \triangle CDA $,

$ \therefore \frac{DM}{DA} = \frac{BD}{CD} = \frac{2}{5} $. $ \therefore AD = \frac{5}{7}AM = \frac{5}{7} × \frac{16}{5} = \frac{16}{7} ( km) $. 在 $ Rt \triangle ADC $ 中, $ \tan C = \frac{AD}{AC} = \frac{\frac{16}{7}}{6} = \frac{8}{21} $.

9. （教材 P77 练习第 1 题变式）如图，某海域有一小岛 P，在以点 P 为圆心，$10(3 + \sqrt {3})$海里为半径的圆形海域内有暗礁. 一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东$60^{\circ }$方向上，当海监船行驶$20\sqrt{2}$海里后到达 B 处，此时测得小岛 P 位于 B 处北偏东$45^{\circ }$方向上.
(1) 求小岛 P 与 A 处之间的距离.
(2) 若海监船由 B 处继续向东航行，是否有触礁的危险？如果有触礁的危险，那么海监船由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

答案：
9.(1)如图，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C.由题意，得∠PAC = $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，∠PBC = $90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$，AB = $20\sqrt{2}$海里.设PC = x海里，则易得BC = x海里.在Rt△PAC中，
∵tan∠PAC = $\frac{PC}{AC}$，即$\frac{x}{x + 20\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x = $10\sqrt{6} + 10\sqrt{2}$.
∴PC = ($10\sqrt{6} + 10\sqrt{2}$)海里.
∴易得PA = 2PC = ($20\sqrt{6} + 20\sqrt{2}$)海里.
∴小岛P与A处之间的距离为($20\sqrt{6} + 20\sqrt{2}$)海里
(2)有触礁的危险
∵$10\sqrt{6} + 10\sqrt{2} - 10(3 + \sqrt{3}) = 10(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{2} - \sqrt{3}) ＜ 0$海里，
∴有触礁的危险.如图，设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，过点P作PE⊥BD于点E.易知PB = $\sqrt{2}$PC = $20(\sqrt{3} + 1)$海里.当点P到BD的距离PE = $10(3 + \sqrt{3})$海里时，sin∠PBE = $\frac{PE}{PB} = \frac{10(3 + \sqrt{3})}{20(\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴∠PBD = $60^{\circ}$.
∴∠CBD = $60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$.
∵$90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}$，
∴海监船由B处开始沿南偏东至多$75^{\circ}$的方向航行能安全通过这一海域
　　　　　　