1. 在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C对应的边长分别是a$,$b$,$c$,判断下列$\triangle ABC$是不是直角三角形. 若是,请指出哪一个角是直角.
(1)$a = 2$,$b = 3$,$c = 4$； (2)$a = 5$,$b = 7$,$c = 9$；
(3)$a = 15$,$b = 8$,$c = 17$； (4)$a = 41$,$b = 9$,$c = 40$.
答案：1.解:
(1)
∵a=2,b=3,c=4,
∴a²=4,b²=9,c²=16.
∵4+9=13≠16,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形.
(2)
∵a=5,b=7,c=9,
∴a²=25,b²=49,c²=81.
∵25+49=74≠81,
∴a²+b²≠c²,
∴△ABC不是直角三角形.
(3)
∵a=15,b=8,c=17,
∴a²=225,b²=64,c²=289.
∵225+64=289,
∴a²+b²=c²,
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°.
(4)
∵a=41,b=9,c=40,
∴a²=1681,b²=81,c²=1600.
∵81+1600=1681,
∴b²+c²=a²,
∴△ABC是直角三角形,∠A=90°.
2. 一个三角形三边长的比为$3:4:5$,它的周长是$60\mathrm{cm}$. 求这个三角形的面积.
答案：2.解:
∵三角形三边长的比为3:4:5,
∴可设该三角形的三边长分别为3x cm,4x cm,5x cm.
∵它的周长是60 cm,
∴3x+4x+5x=60,解得x=5.
∴该三角形的三边长分别为15 cm,20 cm,25 cm.
∵15²+20²=25²,
∴该三角形为直角三角形.
∴这个三角形的面积为$\frac{1}{2}×15×20=150(cm²)$.
3. 如图,在四边形$ABDC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,$AB = 9$,$AC = 12$,$BD = 8$,$CD = 17$.
(1)连接$BC$,求$BC$的长；
(2)求四边形$ABDC$的面积.
答案：3.解:
(1)
∵在△ABC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,
∴BC²=AB²+AC²=9²+12²=225.
∴BC=15.
(2)
∵BC²=15²=225,BD²=8²=64,CD²=17²=289,
∴BC²+BD²=289=CD²,
∴△BCD是直角三角形.
∴S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=$\frac{1}{2}AB·AC+\frac{1}{2}BD·BC$=
$\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×8×15=114$.
