勾股数是指满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数。
选项A：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，且3、4、5均为正整数，是勾股数。
选项B：0.6、0.8不是正整数，不是勾股数。
选项C：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，且7、24、25均为正整数，是勾股数。
选项D：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，且5、12、13均为正整数，是勾股数。
B

解：
∵长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，
∴∠A=90°，AD=BC=9cm，AB=CD=3cm。
由折叠性质得：BE=DE。
设AE=x cm，则DE=AD-AE=(9-x)cm，BE=DE=(9-x)cm。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，
即3²+x²=(9-x)²，
9+x²=81-18x+x²，
18x=72，
x=4。
∴AE=4cm，
∴△ABE的面积为$\frac{1}{2}×AB×AE=\frac{1}{2}×3×4=6(cm^2)$。
答案：A

设筷子长度为$x\ cm$，则杯子高度为$(x - 1)\ cm$。
杯子底面直径为$10\ cm$，半径为$5\ cm$。当筷子倒向杯壁时，筷子、杯子的高与底面半径构成直角三角形，根据勾股定理：
$(x - 1)^2 + 5^2 = x^2$
展开得：
$x^2 - 2x + 1 + 25 = x^2$
化简：
$-2x + 26 = 0$
解得：
$x = 13$
C

解：设梯子AB的长度为$x$米，$OB = y$米。
在$Rt\triangle AOB$中，$AO = 4$米，由勾股定理得：$AO^2+OB^2=AB^2$，即$4^2 + y^2 = x^2$ ①。
顶端A下滑1米到C，则$CO=4 - 1=3$米；底端B右滑1米到D，则$OD=y + 1$米。
在$Rt\triangle COD$中，由勾股定理得：$CO^2+OD^2=CD^2$，因为$CD = AB = x$，所以$3^2+(y + 1)^2=x^2$ ②。
联立①②：$\begin{cases}16 + y^2=x^2\\9+(y + 1)^2=x^2\end{cases}$
② - ①得：$9+(y^2 + 2y + 1)-16 - y^2=0$，化简得$2y - 6=0$，解得$y = 3$。
将$y = 3$代入①：$16 + 9=x^2$，$x^2=25$，$x = 5$（$x=-5$舍去）。
答：梯子AB的长度为5米，选A。

将圆柱侧面展开，底面圆周长的一半为$\frac{1}{2} × 2\pi r = \pi r$，$r=4$，$\pi=3$，则$\pi r=3×4=12$。高为5，此时A、B两点间的最短路径为直角三角形的斜边，两直角边分别为12和5。根据勾股定理，最短路径长为$\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
B

当3和4为直角边时，第三边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$；当4为斜边，3为直角边时，第三边长为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。故第三边长为5或$\sqrt{7}$。
D

解：设$AE = x$，则$BE = AB - AE = 4 - x$。
过点$D$作$DG \perp BC$于点$G$，
∵$AD // BC$，$\angle A = 90°$，
∴四边形$ABGD$为矩形，
∴$AD = BG$，$AB = DG = 4$。
∵$AB = BC = 4$，$2AD = 4$，
∴$AD = 2$，$BG = 2$，$GC = BC - BG = 4 - 2 = 2$，
∴$D(2, 4)$，$C(4, 0)$（以$B$为原点，$BC$为$x$轴，$BA$为$y$轴建立坐标系）。
∵$EF$垂直平分$CD$，
∴$F$为$CD$中点，$ED = EC$。
$F$点坐标为$\left(\frac{2 + 4}{2}, \frac{4 + 0}{2}\right) = (3, 2)$。
$E$点坐标为$(0, 4 - x)$，
$ED^2 = (2 - 0)^2 + (4 - (4 - x))^2 = 4 + x^2$，
$EC^2 = (4 - 0)^2 + (0 - (4 - x))^2 = 16 + (x - 4)^2$。
∵$ED = EC$，
∴$4 + x^2 = 16 + (x - 4)^2$，
解得$x = \frac{7}{2}$。
答案：C