8. (2024·南京秦淮区期末)如图,$AB = AC$,$BE\perp AC$,$CF\perp AB$,垂足分别为$E$,$F$,$CF与BE交于点D$,下列结论：①$\triangle ABE\cong\triangle ACF$；②$\triangle BDF\cong\triangle CDE$；③点$D在\angle BAC$的平分线上；④$AB = DF + DB$.其中所有正确结论的序号是(
C
)
A.①②
B.②③
C.①②③
D.①②③④
答案：C
解析：
证明：
① $\because AB=AC$，$\angle A=\angle A$，$BE\perp AC$，$CF\perp AB$，
$\therefore \angle AEB=\angle AFC=90°$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ACF$（AAS），①正确；
② $\because \triangle ABE \cong \triangle ACF$，
$\therefore AE=AF$，$BE=CF$，
$\because AB=AC$，
$\therefore BF=AB-AF=AC-AE=CE$，
$\because \angle BDF=\angle CDE$，$\angle BFD=\angle CED=90°$，
$\therefore \triangle BDF \cong \triangle CDE$（AAS），②正确；
③ 连接$AD$，
$\because \triangle ABE \cong \triangle ACF$，
$\therefore AE=AF$，
$\because AD=AD$，$\angle AED=\angle AFD=90°$，
$\therefore \triangle AED \cong \triangle AFD$（HL），
$\therefore \angle EAD=\angle FAD$，
$\therefore$ 点$D$在$\angle BAC$的平分线上，③正确；
④ $\because \triangle BDF \cong \triangle CDE$，
$\therefore DF=DE$，$DB=DC$，
$\because BE=BD+DE=BD+DF$，但$BE \neq AB$，
$\therefore AB \neq DF+DB$，④错误．
综上，正确结论的序号是①②③．
答案：C
9. (2024·宿城期中)在$\triangle ABC$中,$\angle A = 45^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$.若$\triangle ABC\cong\triangle DEF$,则$\angle F$的度数为
75°
.
答案：75°
解析：
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，$\angle A = 45°$，$\angle B = 60°$，则$\angle C = 180° - 45° - 60° = 75°$。
因为$\triangle ABC \cong \triangle DEF$，所以$\angle F = \angle C = 75°$。
$75°$
10. (2024·宿城期中)如图,在$\triangle ABC$中,边$AC的垂直平分线交AC于点M$,交$BC于点N$.若$AB = 3$,$BC = 13$,则$\triangle ABN$的周长是
16
.
答案：16
解析：
解：
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AN=CN，
∵BC=13，
∴BN+CN=BN+AN=13，
∵AB=3，
∴△ABN的周长=AB+BN+AN=3+13=16.
16
11. (2024·重庆B卷)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 36^{\circ}$,$BD平分\angle ABC交AC于点D$.若$BC = 2$,则$AD$的长为______.
2
答案：2
解析：
解：
∵ $AB = AC$，$\angle A = 36°$，
∴ $\angle ABC = \angle C = \frac{180° - 36°}{2} = 72°$。
∵ $BD$ 平分 $\angle ABC$，
∴ $\angle ABD = \angle DBC = \frac{72°}{2} = 36°$。
∴ $\angle BDC = 180° - \angle DBC - \angle C = 180° - 36° - 72° = 72°$。
∵ $\angle BDC = \angle C$，$\angle A = \angle ABD$，
∴ $AD = BD$，$BD = BC$。
∵ $BC = 2$，
∴ $AD = BD = BC = 2$。
2
12. 等腰三角形的一个内角为$50^{\circ}$,那么这个等腰三角形的一个底角的度数为
50°或65°
.
答案：50°或65°
解析：
当$50^{\circ}$角为顶角时，底角的度数为$\frac{180^{\circ}-50^{\circ}}{2}=65^{\circ}$；
当$50^{\circ}$角为底角时，底角的度数为$50^{\circ}$。
$50^{\circ}$或$65^{\circ}$
13. 如图,已知方格纸中是4个相同的小正方形,则$\angle 1+\angle 2$的度数为
90°
.
答案：90°
解析：
设每个小正方形的边长为1。
在方格纸中，∠1所在的直角三角形两直角边分别为1、2，∠2所在的直角三角形两直角边分别为1、2，易证这两个三角形全等，故对应角相等。
∠1的余角与∠2相等，因此∠1+∠2=90°。
90°
14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle CAD= \angle EAD$,$\angle ADC= \angle ADE$,$CB = 5\mathrm{cm}$,$BD = 3\mathrm{cm}$,则$ED$的长为
2
$\mathrm{cm}$.
答案：2
解析：
证明：在$\triangle ADC$和$\triangle ADE$中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle CAD = \angle EAD \\AD = AD \\\angle ADC = \angle ADE\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ADC \cong \triangle ADE(ASA)$
$\therefore DC = DE$
$\because CB = 5\mathrm{cm}$，$BD = 3\mathrm{cm}$
$\therefore DC = CB - BD = 5 - 3 = 2\mathrm{cm}$
$\therefore ED = DC = 2\mathrm{cm}$
2
15. (2024·南京浦口区期末)如图,等边$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的中线,且$AD = 17$,$E$,$P分别是AC$,$AD$上的动点,则$CP + EP$的最小值等于
17
.
答案：17
解析：
证明：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，B、C关于AD对称。
作点C关于AD的对称点B，连接BE交AD于点P，此时CP+EP=BP+EP=BE最小。
当BE⊥AC时，BE的值最小。
∵△ABC是等边三角形，
∴BE=AD=17（等边三角形三线合一）。
故CP+EP的最小值为17。
17
16. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$D是AC$的中点,$CE\perp BD于点E$,交$BA的延长线于点F$,若$BF = 12$,则$\triangle FBC$的面积为
48
.
答案：48
解析：
证明：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°．
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF．
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAD=∠CAF, \\ AB=AC, \\ ∠ABD=∠ACF, \end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF(ASA)，
∴AD=AF．
∵D是AC中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB．设AB=AC=x，则AF=$\frac{1}{2}$x．
∵BF=BA+AF=x+$\frac{1}{2}$x=12，解得x=8，即AB=AC=8．
∴△FBC的面积=$\frac{1}{2}$×BF×AC=$\frac{1}{2}$×12×8=48．
48
17. (6分)如图,点$E$,$F在线段CD$上,且$CE = DF$,$AE = BF$,$AE// BF$.求证：$\triangle AEC\cong\triangle BFD$.
答案：证明:
∵AE//BF,
∴∠AEC=∠BFD.又
∵CE=DF,AE=BF,
∴△AEC≌△BFD(SAS).
