9. 若等腰三角形一腰上垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为$40^{\circ}$,则底角的度数为
25°或65°
。
答案：25°或65°
解析：
情况一： 当等腰三角形为锐角三角形时，
设顶角为$\angle A$，腰$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$，交$AB$于点$E$，则$\angle ADE = 40°$。
$\because DE\perp AB$，$\therefore \angle AED = 90°$，
$\angle A = 180° - 90° - 40° = 50°$，
底角$= \frac{180° - 50°}{2} = 65°$。
情况二： 当等腰三角形为钝角三角形时，
设顶角为$\angle BAC$（钝角），腰$AB$的垂直平分线交$CA$延长线于点$D$，交$AB$于点$E$，则$\angle ADE = 40°$。
$\because DE\perp AB$，$\therefore \angle AED = 90°$，
$\angle DAE = 180° - 90° - 40° = 50°$，
$\angle BAC = 180° - 50° = 130°$，
底角$= \frac{180° - 130°}{2} = 25°$。
$25°$或$65°$
10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D在BC$边上,且$AD = BD$。求证：$\angle ADB = \angle BAC$。
答案：证明:
∵AB=AC,AD=BD,
∴∠B=∠C,∠B=∠BAD,
∴∠BAD=∠C.
∵∠ADB=∠DAC+∠C,∠BAC=∠DAC+∠BAD,
∴∠ADB=∠BAC.
11. (2024·宿城期中)如图,$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是BC$的中点,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$。
(1)求证：$DE = DF$；
(2)如果$S_{\triangle ABC} = 14$,$AC = 7$,求$DE$的长。
答案：
(1)证明:
∵AB=AC,D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC.又
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴DE=DF；
(2)解:
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,S△ABC=14,AB=AC=7,
∴$\frac{1}{2}$AB×DE+$\frac{1}{2}$AC×DF=14，
∴$\frac{1}{2}$×7×DE+$\frac{1}{2}$×7×DE=14.
∴DE=2.
12. 在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$D是BC$边上一点,将$\triangle ABD沿AD翻折后得到\triangle AED$,边$AE交射线BC于点F$。
(1)如图①,当$AE\perp BC$时,求证：$DE// AC$。
(2)若$\angle C = 2\angle B$,$\angle BAD = x^{\circ}(0 ＜ x ＜ 60)$。
①如图②,当$DE\perp BC$时,求$x$的值。
②是否存在这样的$x$的值,使得$\triangle DEF$中有两个角相等？若存在,请求出$x$的值；若不存在,请说明理由。
答案：
(1)证明:
∵∠BAC=90°,AE⊥BC，
∴∠C+∠B=90°,∠C+∠CAF=90°.
∴∠CAF=∠B.由翻折可知,∠B=∠E,
∴∠CAF=∠E.
∴DE//AC；
(2)解:
∵∠C=2∠B,∠C+∠B=90°,
∴∠B=30°,∠C=60°.①
∵DE⊥BC,∠B=∠E=30°,
∴∠BFE=60°.
∵∠BFE=∠B+∠BAF,
∴∠BAF=30°.由翻折可知,x=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAF=15°；②存在.
∵∠BAD=x°,
∴∠DFE=(2x+30)°,
∴∠EDF=(120-2x)°.当∠EDF=∠DFE时,120-2x=2x+30，解得x=22.5；当∠DFE=∠E=30°时,2x+30=30，解得x=0(由0＜x＜60,舍去)；当∠EDF=∠E=30°时,120-2x=30,解得x=45.综上可知,当x=22.5或x=45时,△DEF中有两个角相等.
