1. 下列关于$x$的方程中,一定是一元二次方程的是(
C
)
A.$ax^{2}+bx+c = 0$
B.$(x + 2)(x - 3)= (x - 1)^{2}$
C.$x^{2}+1 = 0$
D.$\frac{1}{x}+x = 1$
答案：C
解析：
A选项：当$a = 0$时，方程不是一元二次方程，故A错误。
B选项：将方程展开：
$(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$，
$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$，
整理得：$x^2 - x - 6 = x^2 - 2x + 1$，
化简后得：$x - 7 = 0$，是一元一次方程，故B错误。
C选项：方程$x^2 + 1 = 0$符合一元二次方程的定义，故C正确。
D选项：方程含$\frac{1}{x}$，不是整式方程，故D错误。
2. 方程$x(x + 2)= 0$的根是(
C
)
A.$x = 2$
B.$x = 0$
C.$x_{1}= 0$,$x_{2}= -2$
D.$x_{1}= 0$,$x_{2}= 2$
答案：C
解析：
由方程$x(x + 2) = 0$，根据零乘积定理，若两个因式乘积为$0$，则至少有一个因式为$0$。
可得$x = 0$或者$x + 2 = 0$，由$x + 2 = 0$解得$x = -2$，所以方程的根为$x_1 = 0$，$x_2 = -2$。
3. 一元二次方程$x^{2}-6x - 6 = 0$配方后化为(
A
)
A.$(x - 3)^{2}= 15$
B.$(x - 3)^{2}= 3$
C.$(x + 3)^{2}= 15$
D.$(x + 3)^{2}= 3$
答案：A
解析：
原方程为 $x^{2}-6x - 6 = 0$，移项得到 $x^{2}-6x = 6$。
配方时，加上一次项系数一半的平方，即加上 $3^2 = 9$，得到：
$x^{2}-6x + 9 = 6 + 9$，
即 $(x - 3)^{2} = 15$。
4. 已知$x = -1是一元二次方程x^{2}+mx - 5 = 0$的一个根,则方程的另一个根是(
C
)
A.$1$
B.$-5$
C.$5$
D.$-4$
答案：C
解析：
设方程的另一个根为$x_1$，由一元二次方程根与系数的关系得：$-1 × x_1 = -5$，解得$x_1 = 5$。
5. 关于$x的一元二次方程x^{2}-mx+(m - 2)= 0$的根的情况是(
A
)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案：A
解析：
对于一元二次方程 $x^{2} - mx + (m - 2) = 0$，其判别式为：
$\Delta = (-m)^{2} - 4 × 1 × (m - 2) = m^{2} - 4m + 8 = (m - 2)^{2} + 4$，
由于 $(m - 2)^{2} \geq 0$，所以 $(m - 2)^{2} + 4 ＞ 0$。
因为判别式 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
6. 若关于$x的一元二次方程kx^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围是(
B
)
A.$k ＞ -1$
B.$k ＞ -1且k\neq0$
C.$k ＜ 1$
D.$k ＜ 1且k\neq0$
答案：B
解析：
要使方程 $kx^{2}-2x - 1 = 0$ 为一元二次方程且有两个不相等的实数根，需满足：$k\neq0$，且判别式 $\Delta = b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4k×(-1)=4 + 4k＞0$，由 $4 + 4k＞0$ 解得 $k ＞ -1$，综合得 $k ＞ -1$ 且 $k\neq0$。
7. 景区内某纪念品原价是$168$元,连续两次降价$a\%后售价是128$元. 根据题意,下列方程中,正确的是(
B
)
A.$168(1 + a\%)^{2}= 128$
B.$168(1 - a\%)^{2}= 128$
C.$168(1 - 2a\%)= 128$
D.$168(1 - a^{2}\%)= 128$
答案：B
解析：
设原价为168元，第一次降价后的价格为$168 × (1 - \frac{a}{100})$元，第二次降价后的价格为$168 × (1 - \frac{a}{100})^2$元。根据题意，连续两次降价后的售价为128元，因此方程为$168 × (1 - \frac{a}{100})^2 = 128$，即$168(1 - a\%)^2 = 128$。
8. 已知$\alpha$、$\beta是关于x的一元二次方程x^{2}+(2m + 3)x + m^{2}= 0$的两个实数根,且$\alpha\neq\beta$,并满足$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-1$,则$m$的值是(
B
)
A.$3或-1$
B.$3$
C.$1$
D.$-3或1$
答案：B
解析：
根据一元二次方程根与系数的关系得：$\alpha + \beta = - (2m + 3)$，$\alpha\beta = m^{2}$。
因为$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = - 1$，即$\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = - 1$，把$\alpha + \beta = - (2m + 3)$，$\alpha\beta = m^{2}$代入可得：
$\frac{ - (2m + 3)}{m^{2}} = - 1$，即$m^{2}-2m - 3 = 0$，
因式分解为$(m - 3)(m + 1) = 0$，解得$m = 3$或$m = - 1$。
又因为方程有两个不相等实数根，所以$\Delta=(2m + 3)^{2}-4m^{2}＞0$，
展开得$4m^{2}+12m + 9 - 4m^{2}＞0$，即$12m+9 ＞ 0$，解得$m ＞ - \frac{3}{4}$，所以$m = - 1$舍去，$m = 3$。
9. 方程$(2x - 1)^{2}-25 = 0$的解为
$x = 3$ 或 $ x = - 2$
.
答案：$x = 3$ 或 $ x = - 2$（或填$x_{1} = - 2,x_{2} = 3$）
解析：
原方程为 $(2x - 1)^{2} - 25 = 0$，
移项得 $(2x - 1)^{2} = 25$，
对方程两边同时开平方，得到 $2x - 1 = \pm 5$，
分两种情况讨论：
当 $2x - 1 = 5$ 时，解得 $x = 3$，
当 $2x - 1 = -5$ 时，解得 $x = -2$，
所以，方程的解为 $x = 3$ 或 $x = -2$。
10. 若$3a^{m^{2}-4m + 6}与-5a^{m}$是同类项,则$m= $
2或3
.
答案：2或3
解析：
因为同类项要求字母相同且相同字母的指数也相同，所以$m^{2}-4m + 6 = m$，移项得$m^{2}-5m + 6 = 0$，因式分解为$(m - 2)(m - 3)=0$，解得$m = 2$或$m = 3$。
