根据题意，$2x^{2}+3$ 与 $2x^{2}-4$ 互为相反数，因此有：
$2x^{2} + 3 + 2x^{2} - 4 = 0$，
合并同类项，得到：
$4x^{2} - 1 = 0$，
移项，得到：
$4x^{2} = 1$，
两边同时除以4，得到：
$x^{2} = \frac{1}{4}$，
对方程 $x^{2} = \frac{1}{4}$ 开方，得到：
$x = \pm \frac{1}{2}$。

移项得$x(x + 3) - (x + 3) = 0$，因式分解得$(x + 3)(x - 1) = 0$，则$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。

对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。在方程$7x^2 - \sqrt{6}x - 5 = 0$中，$a = 7$，$b = -\sqrt{6}$，所以$x_1 + x_2 = -\frac{-\sqrt{6}}{7} = \frac{\sqrt{6}}{7}$。

将$x=0$代入方程$(m + 1)x^{2}+x + m^{2}-2m - 3 = 0$，得$m^{2}-2m - 3 = 0$，即$(m - 3)(m + 1) = 0$，解得$m = 3$或$m = -1$。因为方程是一元二次方程，所以$m + 1\neq0$，即$m\neq -1$，所以$m = 3$。

因为 $n$ 是方程的根，代入方程 $x^{2} + mx + n = 0$ 得：
$n^{2} + mn + n = 0$
整理得：
$n(n + m + 1) = 0$
由于 $n \neq 0$，所以：
$n + m + 1 = 0$
从而得出：
$m + n = -1$

根据韦达定理，对于方程 $x^{2} - x - 1 = 0$，其两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 满足：
$x_{1} + x_{2} = 1$，
$x_{1}x_{2} = -1$，
需要求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$，可以利用平方差公式将其表示为：
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}$，
将 $x_{1} + x_{2} = 1$ 和 $x_{1}x_{2} = -1$ 代入上式，得：
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 1^{2} - 2 × (-1) = 1 + 2 = 3$。

方程 $\frac{1}{4}x^{2} - (m - 3)x + m^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根，需满足判别式 $\Delta ＞ 0$。
计算判别式：
$\Delta = (m - 3)^{2} - 4 × \frac{1}{4} × m^{2}$
$= m^{2} - 6m + 9 - m^{2}$
$= -6m + 9$
由 $\Delta ＞ 0$，得：
$-6m + 9 ＞ 0$
$m ＜ \frac{3}{2}$
因此，$m$ 的最大整数值为 $1$。

根据定义分情况讨论：
当$x\leq1$时，$1\oplus x = 1^2 = 1$，$3\oplus x = 3^2 = 9$，则$1 - 9 = -8\neq -5$，舍去。
当$1\lt x\lt3$时，$1\oplus x = x^2$，$3\oplus x = 3^2 = 9$，则$x^2 - 9 = -5$，即$x^2 = 4$，解得$x = \pm 2$，又$1\lt x\lt3$，所以$x = 2$。
当$x\geq3$时，$1\oplus x = x^2$，$3\oplus x = x^2$，则$x^2 - x^2 = 0\neq -5$，舍去。
综上，$x = 2$。