2. 一水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,管道内水面宽为 $ 0.8 \, m $,最深处水深为 $ 0.2 \, m $,此输水管道的直径是 (
D
)
A.$ 0.4 \, m $
B.$ 0.5 \, m $
C.$ 0.8 \, m $
D.$ 1 \, m $
答案：D
解析：
设圆的半径为$r$米，过圆心$O$作弦$AB$（水面宽）的垂线，垂足为$C$，则$AC = \frac{0.8}{2} = 0.4$米。由水深$0.2$米，得圆心到水面距离$OC = r - 0.2$。在$Rt\triangle OAC$中，$OA^2 = AC^2 + OC^2$，即$r^2 = 0.4^2 + (r - 0.2)^2$。解得$r = 0.5$，直径为$2r = 1$米。
3. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,以点 $ P $ 为圆心,$ 2\sqrt{5} $ 为半径的圆弧交 $ x $ 轴于点 $ A $、$ B $,点 $ A $ 的坐标为 $ (2,0) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (6,0) $,则圆心 $ P $ 的坐标为 __
(4,4)
__.
答案：(4,4)
解析：
过点P作PC⊥AB于点C，连接PA。
∵A(2,0)，B(6,0)，∴AB=4，AC=BC=2，OC=OA+AC=4，∴点C坐标为(4,0)。
设P(4,y)，PA=2√5，AC=2，在Rt△PAC中，由勾股定理得：2²+y²=(2√5)²，解得y=±4。
由图知点P在x轴上方，∴y=4，故P(4,4)。
4. 如图,以点 $ O $ 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 $ AB $ 交小圆于 $ C $、$ D $ 两点,且 $ AC = 2 $,求 $ BD $ 的长.
答案：过点 $ O $ 作 $ OE \perp AB $ 于点 $ E $.
因为 $ OE \perp AB $，由垂径定理得：
$ AE = BE $，$ CE = DE $.
所以 $ AE - CE = BE - DE $，即 $ AC = BD $.
因为 $ AC = 2 $，所以 $ BD = 2 $.
答案：2
1. $ \odot O $ 的半径为 5,弦 $ AB // CD $,$ AB = 6 $,$ CD = 8 $,则 $ AB $ 与 $ CD $ 间的距离为 (
C
)
A.1
B.7
C.1 或 7
D.3 或 4
答案：C
解析：
1. 作$OE \perp AB$于$E$，交$CD$于$F$，连$OA,OC$。由垂径定理，$AE = \frac{AB}{2} = 3$，$CF = \frac{CD}{2} = 4$。
2. 在$\triangle OAE$中，$OA = 5$，由勾股定理得$OE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
3. 在$\triangle OCF$中，$OC = 5$，由勾股定理得$OF = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
4. 分两种情况讨论：
当$AB,CD$在圆心同侧时，距离为$|OE - OF| = |4 - 3| = 1$；
当$AB,CD$在圆心两侧时，距离为$OE + OF = 4 + 3 = 7$。
综上，距离为$1$或$7$，选C。
2. 已知 $ P $ 为 $ \odot O $ 内一点,过点 $ P $ 的弦中,最长的弦长为 $ 10 \, cm $,最短的弦长为 $ 8 \, cm $,则 $ OP = $
3 cm
.
答案：$3 cm$（或 填数值3 ）
解析：
设圆的半径为 $R$，过点 $P$ 的最长弦为直径，所以 $2R = 10$，即 $R = 5(cm)$。
过点 $P$ 的最短弦是与过点 $P$ 的直径垂直的弦，设该弦为 $AB$，且 $AB = 8(cm)$，由于 $AB$ 是垂直于过 $P$ 的直径的弦，根据垂径定理可得：
$AP = \frac{AB}{2} = 4 (cm)$，
在直角三角形 $AOP$ 中，利用勾股定理，有：
$OP = \sqrt{R^{2} - AP^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3(cm)$。
3. 如图,在 $ \odot O $ 中,直径 $ AB = 6 $,$ BC $ 是弦,$ \angle ABC = 30^{\circ} $,点 $ P $ 在弦 $ BC $ 上运动,点 $ Q $ 在 $ \odot O $ 上运动,且保持 $ OP \perp PQ $.
(1) 当 $ PQ // AB $ 时,求 $ PQ $ 的长;
(2) 求 $ PQ $ 的长的最大值.
答案：(1) 连接OQ，∵AB是直径，∴∠ACB=90°。在Rt△ABC中，AB=6，∠ABC=30°，∴BC=AB·cos30°=6×(√3/2)=3√3。直线BC方程：由B(3,0)，C(-3/2, 3√3/2)得斜率k=-√3/3，方程为y=-√3/3 x+√3。
∵PQ//AB，AB为x轴，PQ斜率为0，OP⊥PQ，∴OP斜率不存在，即P横坐标为0。代入BC方程得P(0,√3)，OP=√(0²+(√3)²)=√3。
∵OP⊥PQ，OQ=3，∴在Rt△OPQ中，PQ=√(OQ²-OP²)=√(9-3)=√6。
(2) ∵OP⊥PQ，∴PQ=√(OQ²-OP²)=√(9-OP²)。要使PQ最大，需OP最小。OP最小值为O到BC的距离d。直线BC：√3 x+3y-3√3=0，d=|0+0-3√3|/√( (√3)²+3² )=3√3/√12=3/2。
∴PQ最大值=√(9-(3/2)²)=√(27/4)=3√3/2。
(1) √6；(2) 3√3/2。
