答案:$(1)$参加旅游的员工人数$×$每名员工的旅游费用$=$总费用$.$
$(2)$

$(3)$解:设参加这次旅游的有$x$人
由题意得$x[800-10(x-30)]=28000$
解得$x_1=40,$$x_2=70$
当$x=40$时,$800-10(40-30)=700\gt 550$
当$x=70$时,$800-10(70-30)=400\lt 550,$舍去
答:参加这次旅游的有$40$人。
$(4)$解:设参加这次旅游的有$m$人
由题意得$m[800-10(m-30)]=29250$
解得$m_1=45,$$m_2=65$
当$m=45$时,$800-10(45-30)=650\gt 550$
当$m=65$时,$800-10(65-30)=450\lt 550,$舍去
答:参加这次旅游的有$45$人。