答案：
(1)根据题意，得题图
(1)中空白部分的面积为$S_1 = a^2 + b^2 + 2×\frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，
　题图
(3)中空白部分的面积为$S_2 = c^2 + 2×\frac{1}{2}ab = c^2 + ab$.
(2)由$S_1 = S_2$，得$a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$.

答案：
(1)设CE = x，则BE = 8 - x，
　　由题意，得AE = BE = 8 - x，
　在Rt△ACE中，由勾股定理，得$x^2 + 6^2 = (8 - x)^2$，
　解得$x = \frac{7}{4}$，即CE的长为$\frac{7}{4}$.
(2)
∵点B'落在AC的中点，
∴$CB' = \frac{1}{2}AC = 3$.
　设CE = x，则BE = 8 - x，
　　由题意，得B'E = BE = 8 - x，
　由勾股定理，得$x^2 + 3^2 = (8 - x)^2$，
　解得$x = \frac{55}{16}$，即CE的长为$\frac{55}{16}$.
　归纳总结　本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系，借助勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答.

答案：
(1)如图，延长GM交BE于点D.
　方法一：$S_{五边形ABEFG} = S_{正方形ABDN} + S_{正方形MDEF} + S_{\triangle AFG} + S_{\triangle ANG} = b^2 + a^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab$，
　方法二：$S_{五边形ABEFG} = S_{正方形ACFG} + S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CEF} = c^2 + \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}ab = c^2 + ab$，
　
∴$a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$，
∴$a^2 + b^2 = c^2$.
(2)
∵$(2mn)^2 = 4m^2n^2$，$(m^2 - n^2)^2 = m^4 + n^4 - 2m^2n^2$，
　
∴$(2mn)^2 + (m^2 - n^2)^2 = 4m^2n^2 + m^4 + n^4 - 2m^2n^2 = (m^2 + n^2)^2$.
　
∵m，n是正整数且m＞n，
　
∴2mn，$m^2 - n^2$，$m^2 + n^2$都是正整数，
　
∴2mn，$m^2 - n^2$，$m^2 + n^2$是勾股数.
(3)48　[解析]
∵a = 4，b = 8，
∴由
(1)可知，
　$S_{五边形ABEFG} = a^2 + b^2 + ab = 4^2 + 8^2 + 4×8 = 112$.
　又$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×4×8 = 16$，
　
∴图中空白部分的面积为112 - 4×16 = 48.
(4)85，3612，3613(答案不唯一)　[解析]不妨假设$m^2 - n^2 = 85$，m，n是正整数且m＞n，
　
∴(m + n)(m - n) = 85 = 1×85 = 5×17，
　　　　$\begin{cases}m + n = 85 \\ m - n = 1 \end{cases}$ 解得$\begin{cases}m = 43 \\ n = 42 \end{cases}$，
∴2mn = 3612，$m^2 + n^2 = 3613$，
∴85，3612，3613是一组勾股数;
　　$\begin{cases}m + n = 17 \\ m - n = 5 \end{cases}$ 解得$\begin{cases}m = 11 \\ n = 6 \end{cases}$，
　
∴2mn = 132，$m^2 + n^2 = 157$，
　
∴85，132，157是一组勾股数.
(5)$2n^2 + 4n$ $4n + 4$　[解析]$(2n^2 + 4n + 4)^2 = 4n^4 + 16n^2 + 16 + 16n^3 + 16n^2 + 32n = (4n^4 + 16n^3 + 16n^2) + (16n^2 + 32n + 16) = (2n^2 + 4n)^2 + (4n + 4)^2$，
　
∴另两个表达式为$2n^2 + 4n$，$4n + 4$.