名师讲坛
例 一个容积为400毫升的杯子里装满了纯牛奶,第一次喝了一半纯牛奶加满水,第二次再喝一半加满水,第三次又喝一半加满水,这时杯子里还有多少毫升纯牛奶？(每次加满水后均搅匀)
答案：解析：本题主要考查分数乘法的应用。
根据题意，每次喝掉一半的纯牛奶后加满水，纯牛奶的量就减少一半。
第一次喝了一半纯牛奶后，纯牛奶剩余：
$400 × (1 - \frac{1}{2}) = 200 \text{(毫升)}$，
第二次再喝一半，纯牛奶剩余：
$200 × (1 - \frac{1}{2}) = 100 \text{(毫升)}$，
第三次又喝一半，纯牛奶剩余：
$100 × (1 - \frac{1}{2}) = 50 \text{(毫升)}$，
所以，经过三次喝掉一半并加满水后，杯子里剩余的纯牛奶量为50毫升。
答案：50毫升。
1. 一满杯牛奶共1000毫升,小明第一次喝了半杯,然后加满咖啡,第二次喝了这杯的$\frac{1}{3}$,再加满咖啡,第三次又喝了这杯的$\frac{1}{4}$,再加满咖啡,这时杯内还有多少毫升牛奶？(每次加满咖啡后均搅匀)
答案：$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$
$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$
$1000×\frac{1}{4}=250$(毫升)
[提示]将全部牛奶看作单位“1”，第一次喝了半杯，即$\frac{1}{2}$，则杯中还剩下全部牛奶的$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，由于这一过程中牛奶的量没有增加，加满咖啡后，第二次喝了这杯的$\frac{1}{3}$，即又喝了全部牛奶的$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，同理第三次喝了全部牛奶的$(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6})×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，则此时杯中还剩下全部牛奶的$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{4}$，由此就能根据分数乘法的意义求出杯中还有多少牛奶。
2. 有一堆桃共120个,先将这堆桃的$\frac{1}{12}$分给小猴子们,第二天又将剩下桃的$\frac{1}{11}$分给小猴子们,第三天分了余下桃的$\frac{1}{10}$,第四天分了余下桃的$\frac{1}{9}$。此时这堆桃还有多少个？
答案：$120×(1-\frac{1}{12})×(1-\frac{1}{11})×(1-\frac{1}{10})×(1-\frac{1}{9})=80$(个)
[提示]这堆桃原有120个，分给小猴子们$\frac{1}{12}$后，剩余$[120×(1-\frac{1}{12})]$个；第二天分了余下的$\frac{1}{11}$，则剩余$[120×(1-\frac{1}{12})×(1-\frac{1}{11})]$个，同理可得第三天和第四天余下的量。
3. 将2022先减去它的$\frac{1}{2}$,再减去余下的$\frac{1}{3}$,又减去余下的$\frac{1}{4}$,后面每次分别减去余下的$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{6}$……以此类推,直到减去余下的$\frac{1}{2022}$,最后的结果是多少？
答案：$2022×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1-\frac{1}{5})×…×(1-\frac{1}{2022})$
$=2022×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{4}{5}×…×\frac{2021}{2022}$
$=2022×\frac{1}{2022}$
$=1$
[提示]本题考查的知识点是用类推法来解答连续剩余问题。从2022先减去它的$\frac{1}{2}$开始分析，还剩下$2022×(1-\frac{1}{2})$，再减去余下的$\frac{1}{3}$，还剩下余下的$(1-\frac{1}{3})$，即还剩下$2022×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})$……以此类推，直到减去余下的$\frac{1}{2022}$，最后剩下的是$2022×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{2022})$，然后找规律计算出结果即可。
