11. 如图是一个数值转换机,若输出的数为23,则输入的最小正整数是
5
.
答案：5 解析:当$-2x-3=23$时,解得$x=-13$;当$-2x-3=-13$时,解得$x=$5;当$-2x-3=5$时,解得$x=-4$;当$-2x-3=-4$时,解得$x=\frac {1}{2}$,不是整数,继续推,所得x都不是整数,所以输入的最小正整数是5.
解析：
解：
1. 当$-2x - 3 = 23$时，解得$x = -13$；
2. 当$-2x - 3 = -13$时，解得$x = 5$；
3. 当$-2x - 3 = 5$时，解得$x = -4$；
4. 当$-2x - 3 = -4$时，解得$x = \frac{1}{2}$（非整数）。
输入的最小正整数是$5$。
12. 新题型 新运算 我们定义一种新运算:$a * b = 2a + ab$(等号右边为通常意义的运算).
(1)若$3 * x = \frac{1}{2} * x$,求x的值;
(2)若$(-3) * (2 * x) = x + 24$,求x的值.
答案：（1）由题意得$3*x=2×3+3x=6+3x,\frac {1}{2}*x=2×\frac {1}{2}+\frac {1}{2}x=1+\frac {1}{2}x$,所以$6+3x=1+\frac {1}{2}x$,解得$x=-2$.
（2）由题意得$2*x=2×2+2x=4+2x$,所以$(-3)*(2*x)=2×(-3)+(-3)×(4+2x)=-6-12-6x=-18-6x$,所以$-18-6x=x+24$,解得$x=-6$.
13. 先看例子,再解类似的题目.
解方程:$|x| + 1 = 3$.
解法一:当$x ≥ 0$时,原方程化为$x + 1 = 3$.解方程,得$x = 2$;当$x ＜ 0$时,原方程化为$-x + 1 = 3$.解方程,得$x = -2$.所以原方程的解为$x = 2或x = -2$.
解法二:移项,得$|x| = 3 - 1$.合并同类项,得$|x| = 2$.由绝对值的意义知$x = ±2$,所以原方程的解为$x = 2或x = -2$.
用你学到的方法解方程:$2|x| - 3 = 5$. (用两种方法解)
答案：解法一:当$x≥0$时,原方程化为$2x-3=5$,解方程,得$x=4$;当$x＜$0时,原方程化为$-2x-3=5$,解方程,得$x=-4$.所以方程$2|x|-3=5$的解为$x=4$或$x=-4$.
解法二:移项,得$2|x|=5+3$.合并同类项且系数化为1,得$|x|=4$.由绝对值的意义知$x=\pm 4$,所以方程$2|x|-3=5$的解是$x=4$或$x=-4$.
14. 已知关于x的方程$kx + m = x + 4$.
(1)当k和m为何值时,方程有唯一解?
(2)当k和m为何值时,方程有无数个解?
(3)当k和m为何值时,方程无解?
答案：方程可变形为$(k-1)x=4-m$.
（1）当$k≠1$,m为任意数时,方程有唯一解.
（2）当$k=1,m=4$时,方程有无数个解.
（3）当$k=1,m≠4$时,方程无解.
15. 在解一元一次方程时,巧妙利用整体法,可以达到简化计算的效果.例如,在解方程$7(2x + 1) - 10(2x + 1) + 8 = 2x + 1$时,把$2x + 1$看作一个整体.
令$a = 2x + 1$,得$7a - 10a + 8 = a$,
移项,得$7a - 10a - a = -8$,
合并同类项,得$-4a = -8$,
系数化为1,得$a = 2$,
故$2x + 1 = 2$,解得$x = \frac{1}{2}$.
阅读以上材料,请用同样的方法解方程:$2025(7x - 1) + 2024(1 - 7x) - 5 = 14x - 2$.
答案：2025$(7x-1)+2024(1-7x)-5=14x-2$可变形为$2025(7x-1)-2024(7x-1)-5=2(7x-1)$,令$a=7x-1$,得$2025a-2024a-5=2a$,移项,得$2025a-2024a-2a=5$,合并同类项,得$-a=5$,解得$a=-5$,故$7x-1=-5$,解得$x=-\frac {4}{7}$.
