9. 有理数中,是有理数而不是整数的数是
分数
,是整数而不是正数的数是
0 和负整数
,是负数而不是分数的数是
负整数
,最小的自然数是
0
。
答案：分数 0 和负整数 负整数 0
10. (1)观察以下一列数的特点：$0,1,-4,9,-16,25,…$,则第13个数是
-144
。
(2)一列数：$\frac {1}{1},-\frac {1}{2},\frac {2}{2},-\frac {1}{2},\frac {1}{3},-\frac {2}{3},\frac {3}{3},-\frac {2}{3},\frac {1}{3},-\frac {1}{4},\frac {2}{4},-\frac {3}{4},\frac {4}{4},-\frac {3}{4},\frac {2}{4},-\frac {1}{4},…$,则$-\frac {5}{12}$是第
126 或 140
个数。
答案：(1)-144 解析：观察规律可得第 13 个数是负数且等于-144。 (2)126 或 140 解析：分母为 1 的有 1 个数，分母为 2 的有 3 个数，分母为 3 的有 5 个数……故按此规律排列，分母为$1\sim11$的共有$1+3+5+7+\cdots+21=121（$个）数，分母为 12 的有 23 个数，从前往后数，第一个$-\frac{5}{12}$应排在第 5 个，则在整列数中应排在第 126 个，第二个$-\frac{5}{12}$应排在第 19 个，则在整列数中应排在第 140 个。
解析：
(1) 观察数列：0，1，-4，9，-16，25，…，
第1个数：$0 = -(1 - 1)^2$，
第2个数：$1 = (2 - 1)^2$，
第3个数：$-4 = - (3 - 1)^2$，
第4个数：$9 = (4 - 1)^2$，
……
规律为：当n为奇数时，第n个数为$-(n - 1)^2$；当n为偶数时，第n个数为$(n - 1)^2$。
第13个数，n=13（奇数），则第13个数是$-(13 - 1)^2 = -12^2 = -144$。
(2) 分母为1的数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，……，分母为k的数有$(2k - 1)$个。
分母为1到11的数的总个数为：$1 + 3 + 5 + \cdots + (2×11 - 1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 21$，这是首项为1，末项为21，公差为2的等差数列，项数为11项，总和为$\frac{11×(1 + 21)}{2} = 121$个。
分母为12的数有$2×12 - 1 = 23$个，这些数为：$\frac{1}{12}, -\frac{2}{12}, \frac{3}{12}, -\frac{4}{12}, \frac{5}{12}, -\frac{6}{12}, \cdots, \frac{12}{12}, \cdots, -\frac{5}{12}, \cdots, -\frac{1}{12}$。
其中$-\frac{5}{12}$在分母为12的数中，第一次出现是第5个，第二次出现是第$23 - 4 = 19$个（因为对称）。
所以$-\frac{5}{12}$是第$121 + 5 = 126$个数或$121 + 19 = 140$个数。
(1)-144
(2)126 或 140
11. (2024·盐城期中)小明的妈妈在某玩具厂工作,厂里规定每个工人每周要生产某种玩具70个,平均每天生产10个,但由于种种原因,实际每天生产量与计划量相比有出入,下表是小明妈妈某周的生产情况(超产记为正、减产记为负)：
|星期|一|二|三|四|五|六|日|
|增减产值|+6|-3|-2|+2|-1|+4|0|
(1)根据记录的数据求出小明妈妈星期四生产玩具
12
个；
(2)根据记录的数据求小明妈妈本周实际生产玩具多少个；
6-3-2+2-1+4+0=6（个），70+6=76（个），所以小明妈妈本周实际生产玩具 76 个。
(3)该厂实行“每周计件工资制”,每生产一个玩具可得工资15元,若超额完成任务,则超过部分每个另奖励8元；少生产一个则倒扣8元,那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？
76×15+6×8=1188（元），所以小明妈妈这一周的工资总额是 1188 元。
答案：(1)12 (2)6-3-2+2-1+4+0=6（个），70+6=76（个），所以小明妈妈本周实际生产玩具 76 个。 (3)76×15+6×8=1188（元），所以小明妈妈这一周的工资总额是 1188 元。
12. 黑板上有10个互不相同的有理数,小明说：“其中有6个整数。”小红说：“其中有6个正数。”小华说：“其中正分数与负分数的个数相等。”小林说：“负数的个数不超过3个。”请你根据四位同学的描述,判断这10个有理数中共有
1
个负整数。
答案：1 解析：因为 10 个有理数中有 6 个正数，所以负数和 0 共有 4 个。因为负数的个数不超过 3 个，所以负数共有 3 个。因为有 6 个整数，且正分数与负分数的个数相等，(10-6)÷2=2（个），所以负分数的个数为 2，所以负整数的个数为3-2=1。
13. 无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读材料：由于小数部分位数是无限的,所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数。转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”。一般是用扩倍的方法,把无限循环小数扩大为原来的十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同,然后这两个数相减,这样“大尾巴”就减掉了。
例题：把$0.\dot {3}和0.2\dot {1}\dot {7}$化为分数。
解：因为$0.\dot {3}×10= 3.\dot {3}$,所以$0.\dot {3}×10 - 0.\dot {3}= 3.\dot {3} - 0.\dot {3}$,所以$0.\dot {3}×(10 - 1)= 3$,
即$0.\dot {3}= \frac {3}{9}= \frac {1}{3}$。
因为$0.2\dot {1}\dot {7}×10= 2.\dot {1}\dot {7}$ ①,
$0.2\dot {1}\dot {7}×1000= 217.\dot {1}\dot {7}$ ②,
所以由② - ①得$0.2\dot {1}\dot {7}×1000 - 0.2\dot {1}\dot {7}×10= 217.\dot {1}\dot {7} - 2.\dot {1}\dot {7}$,即$0.2\dot {1}\dot {7}×(1000 - 10)= 215$,
所以$0.2\dot {1}\dot {7}= \frac {215}{990}= \frac {43}{198}$。
请用上述方法解决下面的问题。
(1)把$0.\dot {1}\dot {7}$化成分数；
(2)把$0.3\dot {1}\dot {3}$化成分数。
答案：(1)因为$0.\dot{1}\dot{7}×100=17.\dot{1}\dot{7}，$所以$0.\dot{1}\dot{7}×100-0.\dot{1}\dot{7}=17.\dot{1}\dot{7}-0.\dot{1}\dot{7}=17，$$0.\dot{1}\dot{7}×(100-1)=17，$$0.\dot{1}\dot{7}=\frac{17}{99}。$ (2)因为$0.3\dot{1}\dot{3}×10=3.\dot{1}\dot{3} ①，$$0.3\dot{1}\dot{3}×1000=313.\dot{1}\dot{3} ②，$所以由②-①，可得$0.3\dot{1}\dot{3}×1000-0.3\dot{1}\dot{3}×10=310，$$0.3\dot{1}\dot{3}×(1000-10)=310，$$0.3\dot{1}\dot{3}=\frac{310}{990}=\frac{31}{99}。$
