11.(1)已知关于x,y的多项式$mx^{3}+3nxy^{2}-2x^{3}-xy^{2}+y$中不含三次项,则式子$2m+3n$的值是
5
.
(2)关于x的多项式$(a-2)x^{2}+2x^{a+1}+3x^{3}-a+4(a＞0)$合并后是三项式,则a的值为
1或4
.
答案：(1) $5$ 解析: 因为 $mx^{3}+3nxy^{2}-2x^{3}-xy^{2}+y=(m - 2)x^{3}+(3n - 1)xy^{2}+y$ 中不含三次项, 所以 $m - 2 = 0$ 且 $3n - 1 = 0$, 解得 $m = 2$, $n=\frac{1}{3}$, 则 $2m + 3n = 4 + 1 = 5$. (2) $1$ 或 $4$ 解析: 当 $a + 1 = 2$, 即 $a = 1$ 时, 原式 $=x^{2}+3x^{3}+3$, 符合题意; 当 $a + 1 = 3$, 即 $a = 2$ 时, 原式 $=5x^{3}+2$, 不符合题意; 当 $-a + 4 = 0$, 即 $a = 4$ 时, 原式 $=2x^{2}+2x^{5}+3x^{3}$, 符合题意; 当 $a - 2 = 0$, 即 $a = 2$ 时, 原式 $=5x^{3}+2$, 不符合题意. 综上, $a$ 的值为 $1$ 或 $4$.
解析：
(1) 解：$mx^{3}+3nxy^{2}-2x^{3}-xy^{2}+y=(m - 2)x^{3}+(3n - 1)xy^{2}+y$，
∵多项式不含三次项，
∴$m - 2 = 0$，$3n - 1 = 0$，
解得$m = 2$，$n=\frac{1}{3}$，
∴$2m + 3n = 2×2 + 3×\frac{1}{3}=4 + 1 = 5$。
(2) 解：
① 当$a + 1 = 2$，即$a = 1$时，原式$=(1 - 2)x^{2}+2x^{2}+3x^{3}-1 + 4=-x^{2}+2x^{2}+3x^{3}+3=x^{2}+3x^{3}+3$，为三项式，符合题意；
② 当$a + 1 = 3$，即$a = 2$时，原式$=(2 - 2)x^{2}+2x^{3}+3x^{3}-2 + 4=5x^{3}+2$，为二项式，不符合题意；
③ 当$-a + 4 = 0$，即$a = 4$时，原式$=(4 - 2)x^{2}+2x^{5}+3x^{3}-4 + 4=2x^{2}+2x^{5}+3x^{3}$，为三项式，符合题意；
④ 当$a - 2 = 0$，即$a = 2$时，同②，不符合题意。
综上，$a = 1$或$4$。
答案：(1)$5$；(2)$1$或$4$
12.(2025·上海期中)如果一个多项式的各个项的次数都相同,那么我们就称这个多项式为齐次多项式.例如：$x^{2}+2xy+y^{2}$,它各个项的次数都是2次的,我们就说这个多项式是齐次多项式.已知多项式$A= x^{2}-xy+2$,若多项式A与一个三次整式B的和为齐次多项式,那么这个三次整式B可以是
$x^{3}+y^{3}-x^{2}+xy - 2$
(写出一个符合要求的即可).
答案：$x^{3}+y^{3}-x^{2}+xy - 2$ (答案不唯一) 解析: 根据题意, 多项式 $A = x^{2}-xy + 2$ 不是齐次多项式, 其最高次数为 $2$, 而整式 $B$ 为三次整式, 故只需 $B$ 含有多项式 $-x^{2}+xy - 2$ 让其与 $A$ 合并相消, 且其余各项次数为 $3$ 即可. 所以三次整式 $B$ 可以为 $x^{3}+y^{3}-x^{2}+xy - 2$. (答案不唯一)
解析：
解：因为多项式$A = x^{2}-xy + 2$，要使$A$与三次整式$B$的和为齐次多项式，且$B$是三次整式，所以和的次数应为$3$次。
则$B$需包含三次项，同时消去$A$中的二次项和常数项。
可令$B = x^{3}-x^{2}+xy - 2$（答案不唯一）。
此时$A + B = (x^{2}-xy + 2)+(x^{3}-x^{2}+xy - 2)=x^{3}$，是三次齐次多项式。
故这个三次整式$B$可以是$x^{3}-x^{2}+xy - 2$。
（答案不唯一，例如$y^{3}-x^{2}+xy - 2$等也符合要求）
13.(1)有这样一道题：“当$a= 2024,b= -2025$时,求多项式$8a^{3}-5a^{3}b+3a^{2}b+4a^{3}+5a^{3}b-3a^{2}b-12a^{3}+2025$的值.”小明认为：本题中$a= 2024,b= -2025$是多余的条件.小强反对说：“这不可能,多项式中含有a和b,如果不给出a,b的值,那么就不能求出多项式的值.”你同意谁的观点？请说明理由.
(2)已知代数式$3x^{2}+2bx-y+4-\frac {1}{2}ax^{2}-7x+5y$的值与字母x的取值无关,求a,b的值.
答案：(1) 我同意小明的观点. 理由如下: $8a^{3}-5a^{3}b+3a^{2}b+4a^{3}+5a^{3}b-3a^{2}b-12a^{3}+2025=(8 + 4 - 12)a^{3}+(5 - 5)a^{3}b+(3 - 3)a^{2}b+2025 = 2025$, 因为结果与 $a$, $b$ 的值无关, 所以本题中 $a = 2024$, $b=-2025$ 是多余的条件. 故同意小明的观点. (2) $3x^{2}+2bx - y + 4-\frac{1}{2}ax^{2}-7x + 5y=(3-\frac{1}{2}a)x^{2}+(2b - 7)x + 4y + 4$, 因为代数式 $3x^{2}+2bx - y + 4-\frac{1}{2}ax^{2}-7x + 5y$ 的值与字母 $x$ 的取值无关, 所以 $3-\frac{1}{2}a = 0$, $2b - 7 = 0$, 解得 $a = 6$, $b=\frac{7}{2}$.
解析：
(1) 我同意小明的观点。理由如下：
$\begin{aligned}&8a^{3}-5a^{3}b+3a^{2}b+4a^{3}+5a^{3}b-3a^{2}b-12a^{3}+2025\\=&(8 + 4 - 12)a^{3}+(-5 + 5)a^{3}b+(3 - 3)a^{2}b+2025\\=&0a^{3}+0a^{3}b+0a^{2}b+2025\\=&2025\end{aligned}$
因为化简结果为常数2025，与$a$，$b$的值无关，所以$a=2024$，$b=-2025$是多余的条件。
(2)
$\begin{aligned}&3x^{2}+2bx - y + 4-\frac{1}{2}ax^{2}-7x + 5y\\=&(3-\frac{1}{2}a)x^{2}+(2b - 7)x + 4y + 4\end{aligned}$
因为代数式的值与$x$的取值无关，所以$3-\frac{1}{2}a=0$，$2b - 7=0$。
解得$a=6$，$b=\frac{7}{2}$。
14.新题型 新定义 “柳庭风静人眠昼,昼眠人静风庭柳”,从左向右读与从右向左读完全相同,这样的诗称为回文诗.在数学中也有这样的一类数.一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等,这样的数称为回文数,如121与1221均为回文数.回文数减去其各个数位上的数字的差值称为回自差,如121的回自差为$121-1-2-1= 117$.
(1)请你直接写出最小的三位回文数,并求其回自差；
(2)任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除？请你说明理由.
答案：(1) 由题意得, 最小的三位回文数为 $101$, 所以最小的三位回文数的回自差为 $101 - 1 - 0 - 1 = 99$. (2) 任意三位回文数的回自差最大能被 $9$ 整除, 理由如下: 设一个三位回文数为 $\overline{aba}(a\neq0)$, 其中 $a$, $b$ 都为不超过 $9$ 的自然数, 则该三位回文数为 $100a + 10b + a = 101a + 10b$, 所以该三位回文数的回自差为 $101a + 10b - a - b - a = 99a + 9b$. 因为 $a$, $b$ 都是整数, $99a$ 和 $9b$ 都能被 $9$ 整除, 所以任意三位回文数的回自差最大能被 $9$ 整除.
15.如果关于x的多项式$ax^{2}-abx+b与bx^{2}+abx+2a$的和是一个单项式,那么a与b的关系是
$a=-b$ 或 $b=-2a$
.
答案：$a=-b$ 或 $b=-2a$ 解析: $ax^{2}-abx + b + bx^{2}+abx + 2a=(a + b)x^{2}+b + 2a$, 要使该结果是一个单项式, 那么 $a + b = 0$ 或 $b + 2a = 0$, 所以 $a=-b$ 或 $b=-2a$.
解析：
解：$ax^{2}-abx + b + bx^{2}+abx + 2a=(a + b)x^{2}+(b + 2a)$
因为和是单项式，所以：
情况一：$a + b = 0$，即$a=-b$
情况二：$b + 2a = 0$，即$b=-2a$
综上，$a$与$b$的关系是$a=-b$或$b=-2a$。
16.某市要建一条高速公路,其中的一段经公开招标,由某建筑公司中标.在建筑过程中,该公司为了保质保量提前完工,投入了甲、乙、丙三个工程队同时进行施工,经过一段时间后,甲工程队筑路a km,乙工程队所筑的路比甲工程队的$\frac {2}{3}$多18km,丙工程队所筑的路比甲工程队的2倍少3km.问甲、乙、丙三个工程队共筑路多少千米？若该段高速公路长为1200km,当$a= 300$时,完成任务了吗？
答案：根据题意得, 乙工程队所筑的路是 $(\frac{2}{3}a + 18)$ km, 丙工程队所筑的路是 $(2a - 3)$ km. 甲、乙、丙三个工程队共筑路 $a+\frac{2}{3}a + 18+2a - 3=(1+\frac{2}{3}+2)a+(18 - 3)=(\frac{11}{3}a + 15)$ km. 当 $a = 300$ 时, $\frac{11}{3}a + 15=\frac{11}{3}×300 + 15 = 1100 + 15 = 1115(km)$. 因为 $1115\lt1200$, 所以当 $a = 300$ 时, 没有完成任务.
解析：
解：根据题意，乙工程队所筑的路是$(\frac{2}{3}a + 18)$km，丙工程队所筑的路是$(2a - 3)$km。
甲、乙、丙三个工程队共筑路：
$\begin{aligned}&a + (\frac{2}{3}a + 18) + (2a - 3)\\=&a + \frac{2}{3}a + 2a + 18 - 3\\=&(1 + \frac{2}{3} + 2)a + 15\\=&\frac{11}{3}a + 15\ (km)\end{aligned}$
当$a = 300$时，
$\frac{11}{3}×300 + 15 = 1100 + 15 = 1115(km)$
因为$1115 ＜ 1200$，所以没有完成任务。
答：甲、乙、丙三个工程队共筑路$(\frac{11}{3}a + 15)$千米；当$a = 300$时，没有完成任务。
