10. 如图,C 为线段 AB 上一点,D 为线段 AC 的中点,E 为线段 CB 的中点.
(1)如果 $ AC = 6cm $, $ BC = 4cm $,试求 DE 的长.
(2)如果 $ AB = a cm $,试求 DE 的长度.
(3)若 C 在线段 AB 的延长线上,且满足 $ AC - BC = b cm $,D,E 分别为 AC,BC 的中点,你能猜想 DE 的长度吗? 写出你的结论,并说明理由.
答案：(1)因为点D,E分别是线段AC,BC的中点,AC=6cm,BC=4cm,所以CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3(cm),CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×4=2(cm),所以DE=CD+CE=3+2=5(cm).
(2)因为点D,E分别是线段AC,BC的中点，所以CD=$\frac{1}{2}$AC,CE=$\frac{1}{2}$BC,所以DE=CD+CE=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a(cm).
(3)猜想:DE=$\frac{1}{2}$b cm.理由如下:如图,因为点D,E分别是线段AC,BC的中点,所以CD=$\frac{1}{2}$AC,CE=$\frac{1}{2}$BC,所以DE=CD−CE=$\frac{1}{2}$AC - $\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$(AC−BC)=$\frac{1}{2}$b(cm).
11. 在同一条直线上有 A,B,C,D 四点(A,B,C 三点依次从左到右排列),已知 $ AD = \frac{3}{5}BD $, $ AC = 3CB $,且 $ CD = 6cm $,求 AB 的长.
答案：分为两种情况:(1)如图①,当D在线段AB上时，
设AB=2xcm,则BC=xcm,因为AD=$\frac{3}{5}$BD,所以BD=$\frac{5}{8}$AB=$\frac{5}{4}$x cm.因为CD=BD+BC=6cm,所以$\frac{5}{4}$x + x = 6,解得x=$\frac{8}{3}$,所以AB=2x=2×$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$(cm).
(2)如图②,当D在线段BA的延长线上时，
设AB=2acm,则BC=a cm.因为AD=$\frac{3}{5}$BD,所以AD=$\frac{3}{2}$AB,所以BD=AD+AB=$\frac{3}{2}$AB+AB=$\frac{5}{2}$AB=5a cm.因为CD=BD+BC=6cm,所以5a + a = 6,解得a = 1,所以AB=2a=2×1=2(cm).综上,AB=$\frac{16}{3}$cm或2cm.
12. 如图,已知数轴上有两点 A,B,它们对应的数分别为 a,b,其中 $ a = 12 $.
(1)在点 B 的左侧作线段 $ BC = AB $,在点 B 的右侧作线段 $ BD = 3AB $(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若点 C 对应的数为 c,点 D 对应的数为 d,且 $ AB = 20 $,求 c,d 的值;
(3)在(2)的条件下,设点 M 是 BD 的中点,N 是数轴上一点,且 $ CN = 2DN $,请直接写出 MN 的长.
答案：(1)如图，线段BC,BD为所求线段.
(2)因为AB=20,BC=AB,BD=3AB,所以AC=2AB=2×20=40,AD=2AB=2×20=40.因为a=12,所以c=12−40=−28,d=12+40=52.
(3)$\frac{10}{3}$或110解析:分情况讨论:①点N在线段CD上,由(2)得CD=52−(−28)=80,点B对应的数为12−20=−8,所以BD=52−(−8)=60.因为点M是BD的中点,所以点M对应的数为52−30=22.因为CN=2DN,所以DN=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{80}{3}$,所以点N对应的数为52 - $\frac{80}{3}$=$\frac{76}{3}$,所以MN=$\frac{76}{3}$−22=$\frac{10}{3}$②点N在线段CD的延长线上,因为CN=2DN,所以DN=CD=80,所以点N对应的数为52+80=132,所以MN=132−22=110.综合①②知,MN的长为$\frac{10}{3}$或110.
13. 如图,点 C 是线段 AB 上的一点,线段 $ AC = 8 $, $ BC = \frac{3}{2}AC $,点 D 为线段 AB 的中点.
(1)求线段 AB 和 CD 的长.
(2)若动点 P 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿线段 AB 向右运动,动点 Q 从点 B 出发,以每秒 3 个单位长度的速度沿线段 BA 向左运动,当点 Q 到达点 A 时立即掉头沿线段 AB 向右运动,当点 Q 再次回到点 B 时,动点 P,Q 同时停止运动.设运动时间为 t 秒.
①当 t 为何值时,点 P 与点 Q 重合?
②当 t 为何值时,点 P 与点 Q 之间的距离 $ PQ = 4 $?
答案：(1)因为AC=8,BC=$\frac{3}{2}$AC=$\frac{3}{2}$×8=12,所以AB=AC+BC=20.因为点D为线段AB的中点,所以AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=10,所以CD=AD−AC=10−8=2.
(2)①由题意可知,t≤$\frac{40}{3}$,点P与点Q重合有两种情况:一种是点Q从B到A向左运动时，另一种是点Q到达点A后掉头向右运动时.当点Q向左运动时,t+3t=20,解得t=5.当点Q向右运动时,3t−t=20,解得t=10.故当t=5或t=10时,点P与点Q重合.
②当动点P,Q没有相遇且两点相距4时,有t+3t+4=20,解得t=4;当动点P,Q第一次相遇后，点P向右运动，点Q向左运动，两点相距4时,有t+3t−4=20,解得t=6;当动点P,Q第一次相遇后第二次相遇前，点P向右运动，点Q向右运动，两点相距4时，有3t+4−20=t,解得t=8;当动点P,Q第二次相遇后,点P向右运动,点Q 向右运动,两点相距4时,有3t−20−t=4,解得t=12.综上所述,满足条件的t有t=4或t=6或t=8或t=12.
