1. (2025·沂州期末)如图,C 为 AB 的中点,点 D 在线段 AC 上,且 $ AD:DB = 1:7 $, $ DC = 6 $,则 AB 的长度为 (
A
)
A.16
B.14
C.12
D.10
答案：A
解析：
解：设 $AD = x$，则 $DB = 7x$。
因为 $AB = AD + DB$，所以 $AB = x + 7x = 8x$。
又因为 $C$ 为 $AB$ 的中点，所以 $AC = \frac{1}{2}AB = 4x$。
由于 $DC = AC - AD$，且 $DC = 6$，
则 $4x - x = 6$，解得 $x = 2$。
因此 $AB = 8x = 8×2 = 16$。
答案：A
2. 如图,在一条数轴上有若干个点,任意两个相邻点间的距离都为 2 个单位长度,其中 A,B,C 三点所对应的数分别为 a,b,c,若 $ 3a + c = 4 $,则 b 的值为______.
$\frac{5}{2}$
答案：$\frac{5}{2}$解析:观察题图可知c=a+10,代入3a+c=4,得3a+a+10=4,解得a=$-\frac{3}{2}$,则b=a+4=$\frac{5}{2}$.
解析：
解：由数轴可知，A、B、C三点相邻两点间距离为2，且A到B有2段距离，A到C有5段距离，所以$b = a + 2×2 = a + 4$，$c = a + 2×5 = a + 10$。
将$c = a + 10$代入$3a + c = 4$，得$3a + a + 10 = 4$，
$4a = 4 - 10$，
$4a = -6$，
解得$a = -\frac{3}{2}$。
则$b = -\frac{3}{2} + 4 = \frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$
3. 如图,在数轴上有 A,B,C,D 四个整数点(即各点均表示整数),且 $ 2AB = BC = 3CD $,如果 A,D 两点表示的数分别为 -5 和 6,那么该数轴上点 C 表示的整数是______.
4
答案：4解析:设BC=6x,因为2AB=BC=3CD,所以AB=3x,CD=2x,所以AD=AB+BC+CD=11x.因为A,D两点表示的数分别是−5和6，所以11x=11,解得x=1,所以AB=3,BC=6,CD=2.因为A,D两点表示的数分别为−5和6,所以点C表示的整数是4.
解析：
设 $ BC = 6x $，
因为 $ 2AB = BC = 3CD $，所以 $ AB = 3x $，$ CD = 2x $，
则 $ AD = AB + BC + CD = 3x + 6x + 2x = 11x $。
由于 $ A $，$ D $ 两点表示的数分别为 $-5$ 和 $6$，
所以 $ AD = 6 - (-5) = 11 $，即 $ 11x = 11 $，解得 $ x = 1 $。
因此 $ CD = 2x = 2 $，
点 $ C $ 表示的数为 $ D $ 点表示的数减去 $ CD $ 的长度，即 $ 6 - 2 = 4 $。
4
4. 新趋势 过程性学习 如图,已知线段 $ AB = 10 $,C 是线段 AB 延长线上的一点,点 D 是 AC 的中点.若点 E 为线段 CD 上一点,且 $ DE = 5 $,试说明点 E 是线段 BC 的中点.
小明的做法如下,请你帮他完成解答过程.
解:设 $ BC = x $.
......
......
答案：设BC=x,AC=AB+BC=10+x,因为点D是AC的中点,所以DC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$(10+x)=5+$\frac{1}{2}$x.因为DE=5,所以EC=DC−DE=5+$\frac{1}{2}$x−5=$\frac{1}{2}$x,所以BE=BC−EC=x−$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x,所以BE=EC,所以点E是线段BC的中点
5. 如图,已知 B 是线段 AC 上一点,M 是线段 AB 的中点,N 是线段 AC 的中点,P 为 NA 的中点,Q 为 MA 的中点,求 $ \frac{MN}{PQ} $的值.
答案：解法一:由题意,得PQ=AP−AQ=$\frac{1}{2}$AN−$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$(AN−AM)=$\frac{1}{2}$MN,所以$\frac{MN}{PQ}$=2. 解法二:设AC=x,AB=y,则AN=$\frac{1}{2}$x,AM=$\frac{1}{2}$y.因此MN=AN−AM=$\frac{1}{2}$x−$\frac{1}{2}$y=$\frac{1}{2}$(x−y).同理可得PQ=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{4}$(x−y),故$\frac{MN}{PQ}$=2.
解析：
解：设 $ AC = x $，$ AB = y $。
因为 $ N $ 是 $ AC $ 的中点，所以 $ AN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}x $；
因为 $ M $ 是 $ AB $ 的中点，所以 $ AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}y $。
则 $ MN = AN - AM = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}(x - y) $。
因为 $ P $ 是 $ NA $ 的中点，所以 $ AP = \frac{1}{2}AN = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}x $；
因为 $ Q $ 是 $ MA $ 的中点，所以 $ AQ = \frac{1}{2}AM = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}y = \frac{1}{4}y $。
则 $ PQ = AP - AQ = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}y = \frac{1}{4}(x - y) $。
因此，$ \frac{MN}{PQ} = \frac{\frac{1}{2}(x - y)}{\frac{1}{4}(x - y)} = 2 $。
答案：$ 2 $
6. 如图,点 C,D 是线段 AB 上的任意两点,点 E 是 AC 的中点,点 F 是 BD 的中点,如果 $ EF = m $, $ CD = n $,那么线段 AB 的长度为 (
C
)
A.$ m + n $
B.$ 2m + n $
C.$ 2m - n $
D.$ 3m - 2n $
答案：C解析:由题意得EC+FD=EF−CD=m−n.因为E是AC的中点,F 是BD的中点,所以AE+FB=EC+FD=EF−CD=m−n.又因为AB=AE+FB+EF,所以AB=m−n+m=2m−n.故选C.
7. 如图,已知线段 $ AM:BM = \frac{3}{4} $, $ GM:MN = \frac{3}{4} $,且 $ BN = 10 $,则 $ AG = $
$\frac{15}{2}$
.
答案：$\frac{15}{2}$解析:由题意得AM=$\frac{3}{4}$BM,GM=$\frac{3}{4}$MN,则AG=AM−GM=$\frac{3}{4}$BM - $\frac{3}{4}$MN=$\frac{3}{4}$(BM−MN)=$\frac{3}{4}$BN=$\frac{3}{4}$×10=$\frac{15}{2}$.
解析：
解：由题意得，$AM = \frac{3}{4}BM$，$GM = \frac{3}{4}MN$。
则$AG = AM - GM = \frac{3}{4}BM - \frac{3}{4}MN = \frac{3}{4}(BM - MN)$。
因为$BM - MN = BN$，且$BN = 10$，
所以$AG = \frac{3}{4}BN = \frac{3}{4}×10 = \frac{15}{2}$。
$\frac{15}{2}$
8. 如图,C,D 是线段 AB 上的两点,已知 $ AB = 10cm $, $ CD = 3cm $,则以 A,C,D,B 这四个点为端点的所有线段的长度之和为
33
cm.
答案：33解析:因为AC+BC=AB,AD+BD=AB,且AB=10cm,CD=3cm,所以所有线段之和为AC+AD+AB+CD+CB+BD=(AC+BC)+(AD+BD)+AB+CD=3AB+CD=3×10+3=33(cm).
解析：
解：以A,C,D,B为端点的线段有AC,AD,AB,CD,CB,DB。
所有线段长度之和为：AC+AD+AB+CD+CB+DB。
因为AC+CB=AB，AD+DB=AB，AB=10cm，CD=3cm，
所以原式=(AC+CB)+(AD+DB)+AB+CD=AB+AB+AB+CD=3AB+CD。
则3×10+3=33(cm)。
答案：33
9. 如图,C,D 是线段 AB 上两点,M,N 分别是线段 AD,BC 的中点,下列结论:
①若 $ AD = BM $,则 $ AB = 3BD $;
②若 $ AC = BD $,则 $ AM = BN $;
③ $ AC - BD = 2(MC - DN) $;
④ $ 2MN = AB - CD $.
其中正确的结论是______(填序号).
①②③④
答案：①②③④解析:①若AD=BM,则AM=BD.由M是AD的中点,得AM=MD,则AM=MD=BD,故AB=3BD.②若AC=BD,则AD=BC.由M,N分别是AD,BC的中点,可得AM=$\frac{1}{2}$AD,BN=$\frac{1}{2}$BC,故AM=BN.③因为AC=AM+MC=DM+MC,BD=BN+DN=CN+DN，所以AC−BD=DM−CN+MC−DN.又因为DM−CN=MC−DN,故AC−BD=2(MC−DN).④因为MN=MD+CN−CD=$\frac{1}{2}$AD+$\frac{1}{2}$BC−CD=$\frac{1}{2}$(AD+BC)−CD=$\frac{1}{2}$(AB+CD)−CD=$\frac{1}{2}$(AB−CD),故2MN=AB−CD.综上,其中正确的结论是①②③④.
