1. 观察下列图表:
解答下列问题:
(1)在表中空格中分别画出图形,写出线段总条数.
(2)请写出线段总条数N与线段上的点数n(包括线段的两个端点)的关系式:____.
(3)已知往返于汕头与广州东的某次列车,运行途中须停靠汕头、潮汕、普宁、深圳北、东莞南、东莞、广州东7个站点,那么该次列车共需要准备____种不同的车票.一列火车往返于A,B两个城市,若共有n(n＞3或n= 3)个站点,则共需要准备____种不同的车票.
答案：(1)
15 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1
21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
(2) $N = \frac{n(n - 1)}{2}$
(3) 42 $n(n - 1)$ 解析:往返于汕头与广州东的某次列车,共需要准备 $2×(6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 2×21 = 42$(种)不同的车票.若有 $n(n ＞ 3$ 或 $n = 3)$ 个站点,共需要准备 $2[(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + \cdots + 3 + 2 + 1] = 2×\frac{n(n - 1)}{2} = n(n - 1)$(种)不同的车票.
易错提醒
注意往返车票与单程车票的区别,往返车票种数为 $n(n - 1)$.
2. (2025·济南期末)有如下问题:“平面上,分别有2个点、3个点、4个点、5个点,…,n个点,其中任意3个点都不在一条直线上,经过每两点画一条直线,它们分别可以画多少条直线?”为了解决这一问题,小明设计了如下图表进行探究:
【发现规律】
(1)当点数为5时,过任意一点的直线有
4
条,共有直线
10
条.
【探索归纳】
(2)当点数为n时,过任意一点的直线有
(n - 1)
条,共有直线
$\frac{n(n - 1)}{2}$
条.(用含n的代数式表示)
【迁移运用】
(3)请按照小明的探究思路,分析并解决下列问题:
某学校七年级共有6个班进行足球比赛.
①比赛结束后,每两个班级之间互送一份纪念品,共送出多少件纪念品?
②若进行单循环比赛,每两个班都要赛一场,全部比完共进行了多少场比赛?
(3)① $6×(6 - 1) = 30$(件).答:共送出 30 件纪念品.② $\frac{6×(6 - 1)}{2} = 15$(场).答:全部比完共进行了 15 场比赛.
答案：(1) 4 10
(2) $(n - 1)$ $ \frac{n(n - 1)}{2}$
(3) ① $6×(6 - 1) = 30$(件).答:共送出 30 件纪念品.
② $ \frac{6×(6 - 1)}{2} = 15$(场).答:全部比完共进行了 15 场比赛.
